Формула Пуассона

Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (p → 0 ) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n→ ∞), причем произведение np стремится к постоянному числу λ (np → λ), то вероятность P_n(m) того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству

.

(3.12)

Строго говоря, условие теоремы Пуассона (p → 0 при n → ∞, так что np → λ) противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании p = const. Однако, если вероятность p – постоянна и мала, число испытаний n – велико и число λ = np – незначительно (будем полагать, что λ = np ≤ 10), то из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона

.

(3.13)

Пример 3.8. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение. Вероятность того, что день рождения студента приходится на 1 сентября, равна р = 1/365. Так как вероятность р = 1/365 – мала, а число испытаний n = 1825 – велико и λ = np = 1825·(1/365) = 5 ≤ 10, то условие применимости формулы Пуассона выполняется. По формуле (3.13) получаем:

= 0, 1755. ◄

4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ