Свободные затухающие колебания

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают (рисунок 2.3). При достаточно большом сопротивлении контура колебания в нем вообще не возникают, а происходит апериодический разряд конденсатора.

Рис. 2.3

Закон Ома, записанный для цепи 1 – 3 – 2 имеет вид

. (2.11)

Разделив это уравнение на L, перейдя от силы тока I к заряду q и введя обозначения

, , (2.12)

получаем дифференциальное уравнение затухающих колебаний

, (2.13)

где β – коэффициент затухания.

При условии, что β ² < ω ₀², то есть < , решение уравнения (2.10) имеет вид

, (2.14)

где ω – частота затухающих колебаний, равная

. (2.15)

Подставив (2.9) в формулу (2.12), получаем

. (2.16)

Разделив функцию (2.11) на емкость С, получим разность потенциалов (напряжение) на конденсаторе

. (2.17)

Сила тока в контуре изменяется по закону

, (2.15)

где .

Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на .

График функции (2.14) изображен на рисунке 2.4. Графики для силы тока и напряжения в зависимости от времени имеют аналогичный вид.

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний вводится логарифмический декремент затухания. Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина λ, равная натуральному логарифму амплитуды колебаний в моменты времени t и t + T (T – период колебаний):

, (2.16)

где – амплитуда соответствующей величины (q, u, I).

Рис. 2.4

Для электрического контура

. (2.20)

Логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний N, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз,

. (2.21)

Электрический контур часто характеризуется добротностью Q

, (2.22)

где – энергия контура в моменты времени t и t + T.

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний соответствующей величины, например , то

. (2.23)

При малых значениях логарифмического декремента затухания и добротность контура

. (2.24)