Ортогональное вращение пространства общих факторов

Пусть имеется простая ортогональная структура. Необходимо найти матрицу Т ортогонального вращения пространства общих факторов на угол по часовой стрелке.

Рассмотрим двумерный случай. Обозначим единичные векторы исходной системы координат через и , а единичные векторы новой системы координат через и . Тогда задача нахождения матрицы Т сводится на нахождению координат векторов и относительно исходной системы координат. Графическая иллюстрация задачи представлена на рисунке 5.5.

Рисунок 5.5 – Графическая интерпретация ортогонального вращения плоскости на угол по часовой стрелке

Получаем: , . Тогда матрица ортогонального вращения плоскости на угол по часовой стрелке имеет вид: .

Аналогично можно найти матрицу ортогонального вращения плоскости на угол против часовой стрелки: .

Для осуществления ортогонального вращения многомерного факторного пространства строится несколько матриц ортогонального вращения для каждой пары факторов. В трехмерном случае для осуществления вращения пространства общих факторов на угол по часовой стрелке строятся три матрицы ортогонального вращения:

1. – матрица ортогонального вращения плоскости, образованной факторами и на угол по часовой стрелке;

2. – матрица ортогонального вращения плоскости, образованной факторами и на угол по часовой стрелке;

3. – матрица ортогонального вращения плоскости, образованной факторами и на угол по часовой стрелке.

Далее рассчитывается матрица ортогонального вращения трехмерного пространства общих факторов [25].

После нахождения матрицы Т на основе исходной матрицы факторного отображения А можно рассчитать матрицу факторного отображения после вращения: .

Выбор угла вращения решается часто субъективно. В двумерном случае можно руководствоваться геометрическими соображениями. В многомерном случае угол ортогонального вращения плоскости, образованной j -ым и q -ым факторами, можно вычислить по матрице факторного отображения А используя следующую формулу [43]:

.

Для оценки структуры обобщенных факторов при ортогональном вращении можно использовать следующие количественные критерии:

1. критерий квартимакс ;

2. критерий варимакс .

Критерии для оценки структуры обобщенных факторов при косоугольном вращении приведены в [43, 46].

Если значение критерия, рассчитанное по матрице факторного отображения после вращения, «лучше», чем значение, рассчитанное по матрице факторного отображения до вращения, то считается, что вращение привело к упрощению факторной структуры.

5.4 Многомерное шкалирование

Пусть задана симметричная матрица различий между объектами:

, где и .

Например, имеются экспертные данные попарного сравнения четырех товаров (А, В, С, D), представленные в виде таблицы:

Значение «1» в таблице означает, что сравниваемые товары очень похожи, значение «5» означает, что товары абсолютно не похожи друг на друга. Тогда матрица различий имеет вид:

.

Основные способы построения матрицы различий рассмотрены в конце подраздела.

Ставится задача построить координатное пространство размерности k< n и найти координаты объектов в этом новом пространстве, т.е. найти матрицу такую, что матрица расстояний между объектами по введенной на Х метрике воспроизводила бы матрицу различий . Возможны два варианта задания критерия качества отображения данных типа «объект-объект» в данные типа «объект-свойство», определяющих метод многомерного шкалирования: метрическое или неметрическое многомерное шкалирование. В метрическом шкалировании требуется, чтобы элементы матрицы различий были пропорциональны расстояниям . В неметрическом шкалировании элементы должны быть монотонно связаны с расстояниями .

Таким образом, задача многомерного шкалирования заключается в том, чтобы представить информацию о латентной конфигурации точек, содержащуюся в матрице различий между n объектами, в виде геометрической конфигурации в k -мерном пространстве с расстояниями, удовлетворяющими заданному критерию качества [16].

Выделяют три типа приложений многомерного шкалирования:

1. координатные приложения, т.е. когда нужно определить скрытые характеристики объектов (оси признакового пространства) и значения этих характеристик для рассматриваемых объектов (координаты объектов в построенном признаковом пространстве);

2. сжатие данных, т.е. когда матрицу расстояний между объектами стремятся представить в более простом и легко интерпретируемом виде (чаще всего в двумерном пространстве);

3. верификация размерности предполагаемого пространства и предполагаемой конфигурации точек [16, 33].