Двумерные матричные преобразования

Рассмотрим преобразования координат точек на плоскости. На рис. 1 точка перенесена в точку .

Рис. 1. Операция переноса или трансляции точки в точку .

Математически этот перенос можно описать с помощью вектора переноса . Пусть радиус вектор, соответствующий вектору переноса . Тогда переход из точки в точку будет соответствовать векторной записи . Отсюда получаем, что для переноса точки в новое положение необходимо добавить к ее координатам некоторые числа, которые представляют собой координаты вектора переноса:

Масштабированием объектов называется растяжение объектов вдоль соответствующих осей координат относительно начала координат. Эта операция применяется к каждой точке объекта, поэтому можно также говорить о масштабировании точки. При этом, конечно, речь не идет об изменении размеров самой точки. Масштабирование достигается умножением координат точек на некоторые константы. В том случае, когда эти константы равны между собой, масштабирование называется однородным. На рис.2 приведен пример однородного масштабирования треугольника .

Рис. 2. Операция масштабирования.

После применения операции однородного масштабирования с коэффициентом 2 он переходит в треугольник . Обозначим матрицу масштабирования . Для точек и операция масштабирования в матричном виде будет выглядеть следующим образом:

.

Рассмотрим далее операцию вращения точки на некоторый угол относительно начала координат. На рисунке 3 точка переходит в точку поворотом на угол .

Рис. 3. Операция поворота точки на угол .

Найдем преобразование координат точки А в точку В. Обозначим угол, который составляет радиус-вектор с осью О x. Пусть r – длина радиус-вектора , тогда

Так как и , то подставляя эти выражения в уравнения для и , получаем:

В матричном виде вращение точки А на угол выглядит следующим образом: