Расчет тока третьей коммутации операторным методом

При расчёте переходных процессов классическим методом требуется в общем случае многократное решение систем алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования по начальным условия, что представляет основную трудность расчета этим методом.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции f(t) вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция F(p), которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Поскольку для операторных токов, напряжений и сопротивлений справедливы законы Ома и Кирхгофа, то расчет операторных токов и напряжений будет аналогичным расчету постоянных токов и напряжений в резистивных цепях постоянного тока. В частности, могут быть использованы все известные методы расчета (метод эквивалентных преобразований, метод узловых напряжений и т.д.), которые основаны на законах Ома и Кирхгофа.

Решение: определим ток i₂(t) операторным методом расчета переходных процессов. По условиям нам даны Е=100 В; L=125 мГн; С=50 мкФ; r₁ = r₂ = r₃ = 25 Ом. Составим схему для третьей коммутации (рисунок 5).

Рисунок 5 – Схема третьей коммутации

Определение независимых начальных условий из анализа и расчета схемы до третьей коммутации:

Составим операторную схему после коммутации с учетом внутренних ЭДС (рисунок 6).

Рисунок 6 – Операторная схема

Составим систему уравнений по методу контурных током:

Найдем определитель системы, подставив данные:

Находим нужное алгебраическое дополнение:

Следующим шагом найдем изображение тока :

.

Определим корни полинома знаменателя , прировняв его к нулю:

Решив уравнение, получим комплексно-сопряжённые корни:

Р₂₃ = − 121±118j, с^-1.

Определим значение полинома числителя N(p₁), N(p₂) и N(p₃) при найденных корнях:

.

Найдем производную полинома знаменателя :

M'(p) = 1250pC+150p²LC+2pL+25

Определим значение производную полинома знаменателя M'(p₁), M'(p₂) и M'(p₃) при найденных корнях:

Нахождение оригинала искомого тока в переходном процессе при использовании формулы разложения: