Численное решение дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения

Теория дифференциальных уравнений — раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Ее результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко — в физике.

Неформально говоря, дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором неизвестной величиной является некото­рая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от нее.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связы­вающее аргумент, функцию этого аргумента и производные этой функции до некоторого порядка включительно. Наивысший по­рядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком уравнения.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП).

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их ско­рости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения — это уравнения вида F(t, х, х', х",..., х⁽ⁿ⁾) = 0, где x = x(t) — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о сиcтеме дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени t, штрих означает дифференцирование по t. Число п на­зывается порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение в частных производных — это уравнение, содержащее неизвестные функции от нескольких пе­ременных и их частные производные.

Решение задач на нахождение функции по заданным свой­ствам сводится к решению уравнения, связывающего искомую функцию и величины, задающие ее свойства. Поскольку свой­ства функции выражаются через ее производные, то, решая ука­занную выше задачу, приходим к уравнению, связывающему ис­комую функцию и ее производные. Такие уравнения называют­ся дифференциальными. Решая полученное дифференциальное уравнение, находят искомую функцию.

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество. График решения дифференциального уравнения на­зывается интегральной кривой этого уравнения.

Численное решение дифференциального уравнения

Решить задачу Коши на примере уравнения первого порядка

(1)

Уравнения высших порядков можно свести к системе урав­нений первого порядка. Например, уравнение второго порядка

y" = f(x, y, y')

можно переписать в следующем виде:

z' = f(x, у, z);

y' = z,

где z — новая зависимая переменная, определяемая вторым уравнением. Теперь получается система уравнений относительно у и z. Решение этой системы дает функцию и ее производ­ную.

Построение численных алгоритмов решения уравнения (1) опирается на дискретизацию задачи. Введем в области расчета х [а, b] дискретный набор точек х_i = а + hi, i= 0, 1,..., N, h = (b - a)/N, в которых будет вычисляться приближенное ре­шение. Точки x_iбудем называть узлами интегрирования или узла­ми сетки (рис. 1), расстояние h между узлами — шагом интег­рирования или шагом сетки. Совокупность всех узлов (x_{i ,} i = 0, 1,..., N) будем называть сеточной областью или просто сеткой узлов.

Рис. 1. Прямоугольная сетка

Также будем пользоваться другими обозначениями:

(у_i, i=0, 1,..., N) — совокупность искомых приближенных значений решения задачи в узлах сетки;

(fi=f(x_i, y_i), 1 = 0, 1,..., N) — совокупность значений правой части уравнения в узлах.

Различные совокупности величин, отнесенных к узлам сет­ки, называются сеточными функциями.

Для характеристики точности численных методов определим погрешность приближенного решения следующим образом:

где у(х_i) — значение точного решения в узле сетки.

Метод, по которому получено численное решение, является методом р-го порядка точности, если выполняется неравенство

Переходим к обсуждению конкретных методов получения приближенного решения задачи в узлах сетки.

Простейший способ их конструирования опирается на заме­ну производной в левой части уравнения в окрестности каждого узла приближенным разностным отношением по формулам чис­ленного дифференцирования.