Теорема 2

Будь-який правильний раціональний дріброзкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

Вигляд найпростіших дробів визначається коренями знаменника. При цьому можуть бути такі випадки:

1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто . У цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го типу:

2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто . Тобі дріб розкладається на суму найпростіших І та ІІ типів:

3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники.

Тобто У цьому випадку дріб розкладається на суму дробів І, ІІ, ІІІ-го типів.

Процес інтегрування раціонального дробу складається з таких етапів.

А) Якщо задано неправильний раціональний дріб, слід виділити з нього цілу частину, тобто подати його у вигляді де дріб – правильний.

Б) Розкласти знаменник дробу на лінійні та квадратичні множники.

В) Правильний раціональний дріб розкласти на найпростіші дроби.

Г) Обчислити коефіцієнти в розкладі дробу, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

Д) Проінтегрувати одержану суму найпростіших дробів.