Решение. Приведём данное уравнение к каноническому виду

Приведём данное уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты для переменных x и y:

,

,

,

.

Таким образом, получили каноническое уравнение гиперболы со смещённым центром:

.

Точка – центр гиперболы.

– мнимая полуось;

– действительная полуось;

;

– эксцентриситет.

Точки определяют вершины гиперболы:

, .

Точки определяют фокусы гиперболы:

, .

Уравнения определяют директрисы гиперболы: .

Уравнения определяют асимптоты: .

Начертим гиперболу , используя найденные параметры (рис. 8).

Рис. 8

Ответ: – каноническое уравнение гиперболы.

Параметры гиперболы: – центр гиперболы;

, – полуоси, – эксцентриситет;

– фокусы;

– директрисы;

– асимптоты гиперболы.

Задание 4. Найти каноническое уравнение кривой, для точек которой отношение расстояния от начала координат к расстоянию до прямой постоянно и равно: