Історія виникнення назв конічних перерізів.

1. Розглянемо на площині довільний промінь з початком у точці та відкладемо на ньому одиничний відрізок.

Промінь із вибраною на ньому одиницею вимірювання називають полярною системою координат.

При цьому точку називають полюсом, а промінь – полярною віссю системи координат.

Нехай - довільна точка площини. Позначимо через відстань від неї до точки , а орієнтований кут між вибраним променем та променем - через . Очевидно, що положення точки на площині однозначно визначається числами та . Їх називають полярними координатами точки та записують у виді . Число називають полярним радіусом, а число - полярним кутом точки (рис. 1). Очевидно, що за змістом введених означень . Полярний кут в основному вибирають із одного з проміжків або . В окремих випадках на кут обмежень не накладають і він може змінюватися від до .

Якщо і , де , , то точки з координатами та співпадають.

В окремих випадках використовують узагальнені полярні координати, коли на полярний радіус обмежень не накладають і припускають, що . При цьому при вони співпадають із полярними координатами, а при вважають, що точка співпадає з точкою .

При фіксованому полярному куті та зміні полярного радіуса від до точка пробігає всю пряму, яка проходить через полюс та утворює кут з полярною віссю. На рисунку 2 у полярній системі координат зображені точки , , , .

Встановимо зв'язок між полярними та прямокутними декартовими координатами однієї і тієї ж точки. Для цього накладемо на полярну систему координат прямокутну декартову так, щоб вісь містила полярну вісь, а початок координат співпадав з полюсом (рис. 3).

Нехай - полярні, а - прямокутні декартові координати деякої точки . Очевидно, що виконуються співвідношення

, (1)

які виражають прямокутні декартові координати через полярні. Рівності

(2)

дозволяють виразити полярні координати точки через її декартові координати.

У окремих випадках перехід від однієї системи координат до іншої дозволяє суттєво спростити рівняння деяких ліній, що створює переваги при побудові цих ліній, а також при певних обчисленнях, зв’язаних із визначенням деяких кількісних характеристик ліній.

3. Розглянемо окремі співвідношення, які випливають із означення полярних координат.

Нехай у полярній системі координат задані дві точки та (рис. 4). Довжину відрізка можна обчислити, застосувавши до трикутника теорему косинусів:

. (3)

Якщо точки та лежать на одній прямій і не утворюють трикутник, то у випадку, коли точка лежить поза відрізком маємо . Якщо ж точка належить відрізку , то . Обидва одержані співвідношення є частинними випадками формули (3), оскільки у першому випадку , а у другому .

При розташуванні вершин трикутника так, як зображено на рис. 5_а, дістаємо

= . (4)

У випадку, зображеному на рис. 5_б, маємо , що відповідає співвідношенню (4).

Якщо ж задані точки розташовані так, як зображено на рис. 5_в, то

.

Але, оскільки тут кут між сторонами та дорівнює , а його синус дорівнює , то і у цьому випадку має місце рівність (4). Таким чином, в усіх розглянутих випадках площу трикутника можна знаходити, як модуль правої частини рівності (4).

4. Розглянемо приклади деяких ліній, заданих своїми рівняннями в полярній системі координат. При цьому рівняння називатимемо рівнянням лінії , якщо його задовольняють ті і тільки ті пари чисел , які визначають точки на лінії .

Приклад 1. - рівняння кола з центром у полюсі , радіус якого (рис. 6).

Приклад 2. - промінь із початком у полюсі , який утворює з полярною віссю кут - у звичайній полярній системі координат, або пряма, яка містить даний промінь - в узагальненій полярній системі координат.

Приклад 3. - коло з центром на полярній осі, яке проходить через полюс і має діаметр (рис. 7). Для доведення даного твердження достатньо перейти до прямокутних декартових координат або використати рисунок 6, з якого видно, що точка належить колу тоді і тільки тоді, коли виконується рівність .

Приклад 4. - пряма, яка проходить на відстані від полюса (рис. 8). Тут - полярний кут точки . Доведення даного факту випливає з того, що для довільної точки прямої виконується рівність .

Приклад 6. Побудуємо лінію, яка у прямокутній декартовій системі координат задана рівнянням . Очевидно, що це лінія десятого порядку. Для її побудови перейдемо до полярних координат.

Підставляючи у задану рівність співвідношення , після очевидних перетворень дістаємо .

Використавши двічі тотожність , отримаємо рівняння лінії в полярних координатах у виді

.

Для зображення лінії зауважимо, всі її точки розташовані всередині кола, радіус якого дорівнює 1.Крім цього, оскільки функція періодична з періодом , то її графік достатньо побудувати на проміжку, який має довжину періоду, наприклад, на проміжку , а потім періодично повторити. При зміні полярного кута від 0 до полярний радіус зростає від 0 до 1. Якщо зростає від до , то спадає від 1 до 0. Наведені міркування дозволяють виконати зображення лінії у вигляді восьмипелюсткової троянди (рис. 10).

Рекомендуємо прослідкувати траєкторію руху точки на лінії при зміні від 0 до у випадку, коли лінія задається рівнянням , а координати вважаються узагальненими полярними.

5. Розглянуті нами лінії другого порядку - еліпс, гіперболу та параболу називають також конічними перерізами. Основою для такої назви є те, що дані лінії можна одержати, перетинаючи круговий конус площинами, які не проходять через вершину конуса. Зокрема площини, які проходять паралельно до осі конуса, перетинають його по гіперболах, а площини, які проходять паралельно до довільної твірної, перетинають конус по параболах. Площини, які не паралельні ні до осі конуса, ні до його твірних,

перетинають конус по еліпсах (рис. 11) (у випадку перпендикулярності площини до осі конуса в перетині утворюється коло). Ми не будемо зупинятися на дещо громіздких доведеннях цих фактів. Їх можна знайти, наприклад, в . Відмітимо тільки, що наведені твердження були відомі ще древньогрецькому математику Аполлонію Пергському, який займався вивченням цих питань у другому столітті до нашої ери.

Пригадаємо директоріальні властивості еліпса та гіперболи. Вони говорять про те, що для кожної точки даних ліній відношення відстаней від неї до фокуса та відповідної директриси є стала величина, яка дорівнює ексцентриситету лінії. Оскільки кожна точка параболи рівновіддалена від фокуса та директриси, то і у цьому випадку відношення даних відстаней є сталим числом, яке дорівнює 1 (це число ми назвали ексцентриситетом параболи). Ця спільна властивість ліній лежить в основі виведення рівнянь конічних перерізів у полярних координатах.

Нехай точка є фокусом, а пряма - відповідною директрисою лінії другого порядку з ексцентриситетом . Побудуємо полярну систему координат, вибравши фокус полюсом та спрямувавши полярну вісь по прямій, яка перпендикулярна до директриси, але так, щоб вона не перетинала пряму (рис. 12). Будемо вважати, що відстань від точки до прямої дорівнює .

Нехай - довільна точка лінії. Обчислимо відстань від неї до прямої . Для цього з точки опустимо перпендикуляр на пряму . Оскільки та , то . Використовуючи директоріальну властивість, можемо записати, що , або

. (3)

Розв’язуючи рівняння (3) відносно , дістаємо

. (4)

Одержане співвідношення називають рівнянням конічних перерізів у полярнихкоординатах. При рівняння (4) задає еліпс, при - параболу, а при - гіперболу.

Зробимо наступні зауваження.

У випадку еліпса знаменник не перетворюється в нуль для жодного значення .

Для параболи знаменник перетвориться в нуль тільки при , тобто існує єдиний напрям, при прямуванні до якого точки лінії нескінченно віддаляються.

У випадку гіперболи рівняння на проміжку (- має два розв’язки . Це означає, що існує два напрямки, при наближенні до яких точки лінії нескінченно віддаляються. Очевидно, що одержані рівняння прямих є рівняннями асимптот гіперболи. При цьому точки лінії, для яких виконується нерівність , тобто, коли , належать одній із віток гіперболи. Значення , для яких виконується нерівність , визначають кут, в якому знаходиться друга вітка гіперболи (для побудови цієї вітки потрібно використовувати узагальнені полярні координати).

Наведемо приклади задач.

Задача 1. Встановити, яку лінію задає рівняння . У випадку лінії другого порядку визначити її ексцентриситет та відстань від фокуса до відповідної директриси.

Розв’язання. Виконаємо наступні перетворення: . Тепер очевидно, що рівняння , де , визначає гіперболу з ексцентриситетом , для якої відстань від фокуса до відповідної директриси дорівнює 4. Той факт, що задане рівняння визначає гіперболу можна було встановити без перетворень виразу, оскільки його знаменник на проміжку (- перетворюється в нуль у двох точках. Заміна , виконана нами в процесі перетворень, означає перехід до нової полярної системи координат із тим же полюсом та новою полярною віссю, одержаною поворотом попередньої осі навколо полюса на кут

Задача 2. Знайти канонічне рівняння гіперболи .

Розв’язання. Використовуючи рівності (2), дістаємо , звідки, позбувшись ірраціональності, отримуємо рівняння . Вводячи заміну , дістаємо шукане рівняння у виді .

Відповідь: .

6. Лінії, які ми зараз називаємо еліпсом, гіперболою та параболою відомі людству, як ми уже відмічали, більше двох тисячоліть. Одна із перших задач, яку розв’язували тоді з використанням параболи, полягала у відшуканні сторони квадрата, рівновеликого даному прямокутнику. Якщо сторони прямокутника позначити через та , а сторону квадрата – через , то в сучасних позначеннях задача зведеться до відшукання із рівняння . Сьогодні складність такої задачі можливо викличе тільки усмішку, але тоді, коли не було ні поняття змінних, ні поняття степеня та квадратного кореня, поставлену проблему розв’язували наступним чином.

Нехай у розпорядженні дослідника є парабола, рівняння якої має вигляд . Прикладемо до осі прямокутник стороною, довжина якої (рис. 13). Після цього через його паралельну сторону проведемо пряму до перетину з параболою. Відстань від одержаної точки перетину до осі є шуканою.

Тепер зрозуміло, чому у перекладі з древньогрецької термін “парабола” означає “прикладання”. Записувалось це словом . Якщо замість параболи використати гіперболу або еліпс, які мають з даною параболою спільну вершину та фокус, то у випадку гіперболи знайдемо відрізок, який більший від шуканої сторони квадрата, а у випадку еліпса – менший. Звідси термін “гіпербола” означає “перебільшення”, а термін “еліпс” - “недостача”.