Задание № 4

1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы x²-3у²=12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы, и, проходящей через начало координат.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через центры окружностей

х²+у²-6х-8у+16=0 и х²+у²+10х+4у+13=0.

3. Найти уравнение общей хорды окружностей (х-1)²+(у-3)²=4 и х²+у²-6х-10у+30=0.

4. Найти центр и радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами А(0; 2), В(1; 1), С(2; -2).

5. Найти угол между радиусами окружности (х-4)²+(у+3)²=25, проведенными в точках ее пересечения с осью Ох.

6. Найти координаты точек эллипса 16х²+25у²-400=0, для которых расстояние от левого фокуса в три раза больше расстояния от правого фокуса.

7. Найти длину хорды эллипса 44х²+100у²=4400, направленной по диагонали прямоугольника, построенного на осях эллипса.

8. В эллипс 4х²+у²=4 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с правой вершиной эллипса. Найти координаты двух других вершин треугольника.

9. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки А(3; 0) равно расстоянию до данной прямой х+3=0.

10 Найти уравнения касательных к эллипсу х²+2у²=3, параллельных прямой х-2у+1=0

11. Найти уравнения касательных к гиперболе 4х²-5у²=20, параллельных прямой х+у-4=0.

12. Вершины квадрата лежат на гиперболе 9х²-4у²=125. Найти его площадь.

13. Найти расстояние между точками пересечения асимптот гиперболы

9х²-16у²=144 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

14. На гиперболе х²-у²=1 найти точку, фокальные радиусы которой перпендикулярны.

15. Через левый фокус гиперболы х²-у²=8 проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Найти расстояния от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.

16. При каких значениях прямая у=2х+ пересекает гиперболу

18х²-7у²=126? Касается ее?

17. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса 9х²+25у²=225. Найти уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.

18. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат и касающейся прямой х-у-2=0 в точке М(4; 2).

19. В параболу у²=12х вписан равносторонний треугольник, одна из вершин которого совпадает с вершиной параболы. Найти длину стороны треугольника.

20. Парабола у²=х отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду, длина которой равна . Составить уравнение этой прямой.

21. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой 5х-3у+12=0 с осью ординат; осью абсцисс.

22. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точку пересечения прямой у-х=0 и окружности х²+у²-4у=0.

23. Дан эллипс 6х²+15у²=90. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса.

24. Найти длину диаметра эллипса (хорды, проходящей через центр эллипса)

9х²+27у²=225, перпендикулярно к асимптоте гиперболы х²-у²=4, проходящей через первую и третью четверти.

25. Чему равна площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы х²-у²=1 и прямой х=2.

26. Чему равна длина хорды, проходящей через фокус параболы х²=8у и перпендикулярной к ее оси симметрии.

27. Вычислить полуоси гиперболы, зная, что директрисы даны уравнениями

х = и угол между асимптотами прямой.

28. Составить уравнение прямой, которая касается параболы х²=16у и перпендикулярна к прямой 2х+4у+7=0

29. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса 64х²+100у²=6400, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

30. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса 9х²+25у²=225. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет