Уравнения Максвелла

Подставляя выражение для плотности тока смещения (1-20) в уравнение (1-8) (формулы из предыдущего раздела), получим

(1)

Это уравнение является одним из основных уравнений электродинамики.

Суммируя приведенные выше результаты, запишем систему четырех основных фундаментальных уравнений электродинамики в дифференциальной форме

(2)

div B =0; (3)

(4)

div D =4pr. (5)

Систему уравнений (2)–(5) называют системой уравнений Максвелла (уравнения (2), (3) составляют так называемую первую пару уравнений Максвелла, а уравнения (4), (5) - вторую пару уравнений Максвелла).

Отметим, что уравнение непрерывности (1-9) из предыдущего раздела, выражающее фундаментальный закон сохранения заряда, вытекает из второй пары уравнений Максвелла. Чтобы убедиться в этом, необходимо взять дивергенцию от обеих частей (4) и далее воспользоваться уравнением (5). Данное следствие уравнений Максвелла представляется вполне естественным, так как уравнение непрерывности непосредственно использовалось при поиске выражения для плотности тока смещения.

Дифференциальные уравнения (2)–(5) должны быть дополнены граничными условиями, которым должны удовлетворять величины E, H, D, B на границе раздела двух сред. Легко установить, что поверхностная плотность токов смещения всегда равна нулю. Поэтому совокупность граничных условий имеет вид

D _{2 n} – D _{1 n} =4ps; (6)

B _{2 n} = B _{1 n}; (7)

E _{2 t} = E _{1 t}; (8)

(9)

Здесь единичный вектор n, перпендикулярный к границе раздела, проведен из среды 1 в среду 2, s–поверхностная плотность заряда, i –поверхностная плотность тока проводимости.

Итак, источниками электрического поля являются либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля. Источниками же магнитного поля являются либо электрические токи (движущиеся заряды), либо переменные электрические поля.

Отсутствие симметрии уравнений относительно электрического и магнитного полей обусловлено предполагаемым отсутствием магнитных зарядов в природе (неоднократные попытки обнаружить магнитные заряды до настоящего времени не увенчались успехом).

Интегральная форма уравнений Максвелла имеет вид

, (10)

(11)

(12)

(13)

Отметим, что уравнение (12) представляет собой обобщение теоремы о циркуляции вектора напряженности магнитного поля. В уравнении (12) учтено, что магнитное поле создается как токами проводимости, так и токами смещения.

В интегральной форме уравнения Максвелла обладают наибольшей общностью, так как в этой форме уравнений не предполагается непрерывность входящих в уравнения величин. Эти уравнения выполняются и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва.

Система уравнений Максвелла не является полной. Например, система уравнений (2)-(5), записанная в координатной форме, содержит 8 скалярных уравнений, связывающих 16 величин. При использовании декартовой системы координат это следующие величины: E_x, E_y, E_z, D_x, D_y, D_z, B_x, B_y, B_z, H_x, H_y, H_z, j_x, j_y, j_z, r.

Поэтому уравнения Максвелла необходимо дополнить так называемыми материальными уравнениями. Эти уравнения должны характеризовать свойства среды, в которой возбуждается электромагнитное поле. Необходимо сразу подчеркнуть, что одна и та же среда может характеризоваться различными материальными уравнениями в зависимости от величины параметров электромагнитного поля. Материальные уравнения должны быть получены, вообще говоря, на основе молекулярной теории среды. Возможен и феноменологический подход, опирающийся на обобщение опытных данных. В сложных случаях получение материальных уравнений может представлять собой серьезную современную научную проблему.

Как показывают, в частности, экспериментальные исследования, материальные уравнения наиболее просты в изотропных неферромагнитных и несегнетоэлектрических средах при условии незначительного изменения электромагнитного поля за характерные времена собственных внутримолекулярных колебаний и на протяжении межмолекулярных расстояний и при условии малой величины электромагнитного поля по сравнению с характерным собственным полем молекул среды (такие условия обычно выполняются при решении многих технических задач). Эти материальные уравнения имеют вид

D =e E, (14)

B =m H, (15)

j =l E. (16)

Здесь e, m, l - диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость, электропроводность среды.

Теперь к основной системе уравнений Максвелла добавляется 9 скалярных материальных уравнений, и общее число уравнений становится равным 17. Некоторая математическая переопределенность общей системы уравнений обусловлена тем обстоятельством, что уравнение (3) при соответствующем выборе начального условия вытекает из уравнения (2). Действительно, возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения (2). Тогда получим

(17)

Уравнение (17) означает, что если div B =0 в начальный момент времени, то она будет равна нулю и в последующие моменты времени. Поэтому уравнение (3) с формальной точки зрения фактически лишь накладывает ограничение на вид начального условия для B.

Отметим, что в анизотропной среде, например, закон Ома принимает вид

j _i=l _ikE_k. (18)

В формуле (18), как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, l _ik –тензор электропроводности. В анизотропных средах и в сильных полях вместо (18) нередко используют следующее более общее уравнение:

j_i =l_ikE_k+g _iknE_kE_n +z_iknm E_kE_nE_m. (19)

В курсе теоретической физики система уравнений Максвелла в вакууме формулируется как инвариантная система, служащая для определения четырехмерного тензора второго ранга–тензора электромагнитного поля. С помощью данного тензора можно описывать электромагнитное поле инвариантным способом (в смысле теории относительности). В рамках такого описания отчетливо проявляется следующее свойство: электрическое и магнитное поле являются составляющими единого электромагнитного поля. Выделить определенные электрическое и магнитное поле можно только в том случае, если выбрана инерциальная система отсчета. Можно находить инерциальные системы отсчета, в которых данное электромагнитное поле имеет наиболее простой вид. Например, в определенных случаях можно найти такую инерциальную систему отсчета, в которой в нуль обращается напряженность электрического поля, либо напряженность магнитного поля.