Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Методика решения задачи

1. Выбрать произвольное начальное приближение собственного вектора Y0. k=0.

2. Найти , , где и к=1.

3. Вычислить .

4. Найти , где .

5. Если , то процесс завершить и положить , иначе к=к+1 и перейти к п.3.

Замечание!

1. При неудачном выборе начального приближения предела может не существовать.

2. При проведении некоторого числа итераций рекомендуется «гасить» растущие компоненты получающегося собственного вектора, нормировать его.

 

 

6.3. Нахождение второго собственного значения матрицы Пусть: |ln|£ … £ |l3| £ |l2| < |l1|, т.е. два отличных друг от друга собственных числа l1 и l2 AmY=c1l1mX(1)+ c2l2mX(2)+…+ cnlnmX(n) , Am+1Y=c1l1m+1X(1)+ c2l2m+1X(2)+…+ cnlnm+1X(n) Исключим члены с l1: Am+1Y-l1AmY=c2l2m(l2-l1)X(2)+…+ cnlnm(ln-l1)X(n) Обозначим D l – разность DlAmY=Am+1Y-lAmY При mà ¥ Dl1AmY»c2l2m(l2 - l1) X(2) (*) Dl1Am-1Y»c2l2m-1(l2 - l1) X(2) (**) Разделим (*) на (**).Тогда для i – ой компоненты вектора: . (6.6) Последний корень можно определить из условия, что след матрицы А равен .   6.4. Метод вращений При реализации метода вращений преобразование подобия применяется к исходной матрице А многократно: , k=0, 1…. (6.7) В качестве Н берется ортогональная матрица, называемая матрицей вращения Якоби, зависит от угла φ к : (6.7) На каждом шаге итерации в качестве аij выбирается не диагональный наибольший по модулю элемент, вычисляется угол вращения: . Определяется матрица Н, приводящая этот элемент к нулю. Методика решения задачи 1. Положить к=0, А0=А и задать точность. 2. Выделить в верхней треугольной наддиагональной части матрицы максимальный по модулю элемент i< j. 3. Если , при i< > j, то процесс завершить. Собственные значения определяются формулой , иначе процесс продолжается. 4. Найти угол поворота по формуле приведенной выше. 5. Составить матрицу вращения Н. 6. Вычислить очередное приближение . Замечание! Контроль правильности выполнения действий по каждому повороту осуществляется путем сохранения следа.   7. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений Прикладные задачи, характерные для проектирования современных объектов новой техники, часто сводятся к многомерным в общем случае нелинейным уравнениям, которые решаются методом линеаризации, т.е. сведением нелинейных уравнений к линейным. В общем случае система n уравнений с n неизвестными записывается в виде: (7.1) где – функции n переменных, нелинейные в некоторой области G из Rn. 7.1. Метод Ньютона Дана система n уравнений с n неизвестными (7.1). Обозначим: , В векторной форме: , где Р(X) – вектор функция. Для всех рассматриваемых далее методов требуется находить начальное приближение Х(0). В случае n=2 это можно сделать графически, определив координаты точки пересечения кривых, описываемых уравнениями f1=0, …, fn=0. Обозначим матрицу Якоби: (7.2) Полагаем, что определитель матрицы отличен от нуля. Если мы не знаем точное решение, то заменяем приближенно уравнение на линейное, аналогично разложению в ряд Тейлора: P(X0) + P’(X0)(X - X0) = 0 … P(Xn) + P’(Xn)(Xn+1 - Xn) = 0 Умножаем на обратную матрицу [P’(Xn)]-1. Формула для нахождения решения является естественным обобщением метода Ньютона для решения нелинейных уравнений: (7.3) Так как процесс вычисления обратной матрицы является трудоемким, преобразуем к виду: где ∆ х(к) =х(к+1) -х(к) Умножаем последнее выражение слева на матрицу Якоби: или (7.4) В результате получена система линейных алгебраических уравнений относительно ∆ х(к) После ее определения вычисляется следующее приближение . Методика решения задачи 1. Задать начальное приближение, точность положить k=0. 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений относительно ∆ х(к) =х(к+1) -х(к) : 3. Вычислить следующее приближение: . 4. Если , то решение найдено. Иначе идем на п.2.   7.2. Метод простых итераций Дана система n уравнений с n неизвестными: где – нелинейные функции, определенные и непрерывные в некоторой области G из Rn. Для применения метода требуется привести систему к каноническому виду: . (7.5) Или в векторной форме Х=Ф(х), функции фi определены и непрерывны в окрестности изолированного решения х*. Итерационный процесс записывается в виде: (7.6) Методика решения задачи 1. Привести систему к каноническому виду и проверить условие сходимости. 2. Задать начальное приближения удовлетворяющее условию сходимости. k= 0, e-точность. 3. Вычислить 4. Если , то процесс завершен и х*=х(k+1), иначе k=k+1 и перейти к п.3. Замечание! 1. Итерационный процесс соответствует параллельному итерированию. 2. Система может быть преобразована к каноническому виду различными способами таким образом, чтобы выполнялось условие сходимости. 3. В качестве условия окончания процесса можно использовать различные нормы векторов.   Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона) Пусть функция F(x) непрерывна, дифференцируема в открытом выпуклом множестве GÌ Rn. Предположим, что существуют х*Î Rn, и r, b> 0, такие что δ (x*, r)={xÎ Rn: |х-х*|< r} Ì G, F(x*)=0, и существует P-1(x*), причем и . Тогда существует e> 0, такое что для всех х(0)Î δ (x*, e) последовательность х(1), х(2), … порождаемая соотношением по методу Ньютона сходится и удовлетворяет неравенству Замечания! 1. Теорема свидетельствует о локальной квадратичной сходимости метода Ньютона. 2. Недостатки метода Ньютона: а) необходимость задавать достаточно хорошее начальное приближение; б) отсутствие глобальной сходимости для многих задач; в) необходимость вычисления матрицы Якоби на каждой итерации; г) необходимость решения на каждой итерации системы линейных уравнений, которая может быть плохо обусловленной. 3. Достоинством метода является квадратичная сходимость из хорошего начального приближения при условии невырожденности матрицы Якоби.   Теорема (о достаточных условиях сходимости метода простых итераций) Пусть функции , непрерывны в области G, причем выполнено неравенство (7.7) где q некоторая постоянная. Если последовательность приближений не выходят из области G, то процесс последовательных приближений сходится к вектору x* единственному решению системы. Замечание! 1. Вместо условия (7.7) можно использовать: (7.8)   2. Условия (7.7), (7.8) выполняются, если для любого х принадлежащего G справедливы неравенства , соответственно, где    

 

8. Численные методы теории приближений 8.1. Общая постановка задачи и классификация методов В вычислительной практике часто приходится иметь дело с таблицами значений функций. В форме таблиц обычно оформляются результаты экспериментальных исследований, результаты расчетов, проведенных на ЭВМ. Пусть функция задана множеством своих значений для дискретного набора точек
X f(x)
x0 yo
x1 y1
xn yn

xi - табличные аргументы, уi – табличные значения функции (i=0, 1, …, n).

yi=f(xi) (8.1)

Одной из самых часто встречающихся прикладных задач, связанных с табличными функциями является их аналитическое приближение на основе заданной таблицы значений. А именно, поиск такой аналитически заданной вычисляемой функции Р, которая близка к табличной:

f(x)≈ P(x), x€[a; b] (*)

Предположим, что табличная и приближенная функция считаются близкими, если значения этих функций в табличных аргументах совпадают. Способ аналитического приближения с выполнением указанного свойства называется интерполированием.

В общем виде задача интерполирования формулируется следующим образом: для табличной функции требуется найти достаточно простую известную функцию Р, удовлетворяющую соотношениям:

Р(хi)=yi, (i=0, 1, 2, …, n) (8.2)

В этом случае функция Р называется интерполирующей функцией, а табличные аргументы узлами интерполяции. Если интерполирующая функция р найдена, то на отрезке [а, b] будет иметь место приближенное равенство (*), которое называется интерполяционной формулой.

Интерполяционная формула точна в узлах интерполяции, необходимо оценить погрешность в случае, когда x¹ xi (i=0, 1, …, n).

Существуют несколько способов приближения, в которых по-разному понимается близость между функциями f и P:

а) приближения функции интерполяционными полиномами;

- глобальный способ, в котором для всей области определена функция P

- локальный способ, когда функция восполняется только в некоторой окрестности точки xi (на основе формулы Тейлора)

1. кусочный способ, ищутся fki, i=0, 1, …, каждая из которых является многочленом степени k на частичном отрезке [xi; xi+1]

2. кусочно-глобальный способ, (сплайны) область Q разбивается на частичные отрезки, на которых применяется кусочное построение fki, затем производится объединение в одну функцию.

б) среднеквадратичное приближение, когда минимизируется сумма квадратов отклонений полинома от заданных значений функции (Метод наименьших квадратов):

.

 

 8.2. Полиномиальное интерполирование Для восполнения исходных табличных функций искомыми функциями, как правило, используются алгебраические многочлены. Задача полиномиального интерполирования всегда имеет решение. Теорема. 3.1. Пусть задана табличная функция f c n+1 аргументами. Тогда существует единственный многочлен Pn(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn -2 + … + an, совпадающий в точках xi с yi Pn(xi) = yi i=0, 1, 2, …, n (8.3) Док-во: Теорема будет доказана, если покажем, что равенство (8.3) определяется единственным набором коэффициентов многочлена Рn. Поставим узловые точки в многочлен, получим систему уравнений с n+1 неизвестным: Получили определитель Вандермонда. Т.к. среди чисел x0 x1 … xn нет совпадающих, то он отличен от нуля, следовательно, многочлен существует, система разрешима, многочлен отличен от нуля. Замечание! 1. На самом деле степень полинома может оказаться меньше, когда получатся нулевые коэффициенты при старших степенях х. 2. Можно построить множество интерполяционных полиномов Рk степени k> n. В этом случае система содержит больше неизвестных, чем число уравнений.   8.3. Оценка погрешности интерполирования Пусть на [a, b]=[x0, xn] для заданной табличной функции f получена интерполяционная формула: f(х)»Pn(x), хÎ [a, b]. Функция f достаточное число раз непрерывно дифференцируема, есть возможность получить оценку погрешности независимо от способа построения интерполяционного многочлена. При этом остаточный член Rn определяется только функцией f и выбором узлов интерполирования. (8.4) т.е. многочлен степени n, он равен в узлах интерполяции самой функции, а вне узлов можно записать оценку Rn, характеризующую точность приближения. Теорема: Если f(x) (n+1) раз дифференцируема на [a, b] и содержит узлы интерполирования x0, x1, … xn, то " x Î [a, b] существует такая a< x < b, что выполняется где w(x)= (x-x0 ) (x-x1 )… (x-xn). Док- во: Введем вспомогательную функцию, которая равна где k - некий постоянный коэффициент. Очевидно, что u(x) имеет (n+1) корень и совпадает в узлах интерполяции (корни x0 x1 … xn). Подберем k т.о., чтобы u(x) имела (n+2) корня. Найдем х* Î [a, b], удовлетворяющий соотношению: (8.5) Выразим k: (8.6) , т.е. на концах отрезков, в узлах получаем, что функция u обращается в ноль n+2 раза: [ x0, x1 ] [ x1, x2 ] … [ xi, x* ] [ x*, xi +1 ] … [ xn, xn - 1 ] количество отрезков (n+1), т.е. по теореме Ролля на каждом отрезке в ноль обращается производная u’(x)=0, т.е. она имеет (n+1) корней; u”(x)=0 имеет n корней. Т.о. последовательно, применяя теорему Роля, получим в некоторой точке xÎ [a, b], в которой . Причем и , т.о. мы имеем в некоторой точке x из (8.5): Найдем k: , Приравняем (8.6): . Получаем остаточный член: (8.7) Т.к. x зависит от x и лежит внутри интервала, то найдена верхняя граница остатка интерполяции (она зависит от выбора узлов). Оценка интерполяции: , (8.8) где .   8.4. Интерполяционный многочлен Лагранжа Пусть исходная сеточная функция fi =f(xi) i=0, 1, …, n задана в (n+1) узлах [х0, хn] в общем случае не равностоящих. Тогда многочлен Лагранжа имеет вид: . Найдем коэффициенты lk. Построим многочлен lk (x) равный 1 при x=xk и нулю в остальных узлах x0, x1, …, xk-1 , x k+1, …, xn. Т.к. многочлен в узлах должен иметь корни, то он может быть разложен на множители: lk (x) = c(x-x0 ) (x-x1 )… (x-xk -1 ) (x-xk +1 )… (x-xn), коэффициент c определим из условия lk (xk)=1. 1 = c(xk -x0 ) (xk -x1 )… (xk -xk -1 ) (xk -xk +1 )… (xk -xn) Введем многочлен степени n+1 (с учетом счета от нуля) с корнями в узлах интерполяции и его производную в точку : , . Тогда , , (8.9) Множители lk (x) называются множителями Лагранжа или лагранжевыми коэффициентами, они показывают влияние узлов на значение многочлена. В коэффициентах отсутствуют функции, т.е. их можно вычислить отдельно, для любых функций. Если количество узлов увеличить на 1, то каждое слагаемое в многочлене надо пересчитывать заново. Это требует усовершенствования вида многочлена.   8.5. Конечные разности Пусть известно значение функции y=f(x) в равноотстоящих точках. Аргумент пробегает значение при k=0, 1, 2, …, n, h> 0. xk=x0+kh Будем говорить, что тогда задана таблица функции f(x) с шагом h с начальным аргументом x0 и конечным xn. Числа Dy0 = y1 – y0, Dy1 = y2 – y1, Dy2 = y3 – y2 называются конечными разностями. Конечные разности второго порядка: D2y0 = Dy1 –D y0, D2y1 = Dy2 –D y1, … Конечные разности (k+1) – го порядка: Dk+1y0 = Dky1 –Dk y0, Dk+1y1 = Dky2 –Dk y1 , … Можно найти выражение для конечных разностей любого порядка через значения функции. Dy0 = y1 – y0 D2y0 = Dy1 –D y0, =(y2 – y1) – (y1 – y0) = y2 – 2y1 + y0 Конечные разности обладают свойством линейности: 1) Если F(x)= a·f(x), где a – постоянная, то DF(x)= a·Df(x) 2) Конечная разность суммы двух функций равна сумме конечных разностей слагаемых F(x)=f(x)+g(x) DF(x)= Df(x)+ Dg(x) Конечные разности являются аналогом производных. Теорема: Конечная разность от многочлена степени n является многочленом степени n-1 Рассмотрим P(x)=xk Составим разность первое слагаемое разложим по биному Ньютона. Предложение доказано. Это верно для любого многочлена на основании свойств 1 и 2, т.к. произвольный многочлен строится с помощью суммы и умножения на константы. Конечная разность порядка n от многочлена степени n равна постоянной величине и все разности более высокого порядка равны нулю. Существует формула аналогичного ряда Тейлора которая дает представление значения функции через конечные разности: .  

 

8.6. Разностные отношения Иногда известны значения функции для неравноотстоящих значений аргумента. Тогда применяются разностные отношения или разделенные разности. Пусть задана таблица для неравноотстоящих аргументов x0 x1 … xn Разностные отношения: . Это угловые коэффициенты хорд графика функции. По разностным отношениям первого порядка определяются разностные отношения второго порядка: Аналогично определяются разностные отношения третьего порядка: Они обладают свойством линейности: 1. Разностное отношение суммы F(x)=f(x)+g(x) равно сумме разностных отношений слагаемых f(x) и g(x). 2. Если F(x)= a f(x), где a – константа, то D F(xi+1, xi)= aD f(xi+1, xi) Разностные отношения являются аналогом производных. Разностные отношения порядка n от многочлена степени n являются постоянной величиной и разностные отношения более высокого порядка равны нулю. Выразим разностное отношение любого порядка через значение f(x): В общем случае разностные отношения порядка n: Если ввести обозначения для многочлена степени n+1 с корнями x0, x1, … xn w(x)=(x - x0) (x - x1)… (x - xn), w’(xk)=(xk - x0)… (xk - xk -1) (xk - xk+1) … (xk - xn) Тогда Разностные отношения являются симметрической функцией своих аргументов. Выражение функции через разностные отношения. Ещё одна формула f(xk) через разностные отношения (аналог формулы Тейлора): f(xk)=f(x0)+(xk - x0)f(x0, x1)+(xk - x0)(xk - x1)f(x0, x1, x2)+… +(xk - x0)(xk - x1)…(xk - xk -1 )f(x0, x1 , …, xk) Найдем выражения разделенных разностей в случае равных промежутков интерполяции. Если аргументы равноотстоящие, т.е. xk = x0 + kh, k=0, 1, 2, …, N. Конечные разности первого порядка: . Конечные разности второго порядка: . При любом порядке: .   8.7. Интерполяционный многочлен Ньютона Приведем еще одну форму записи интерполяционного полинома. Будем искать интерполяционный многочлен n-степени на равномерной сетке в виде: Коэффициенты а0, …, аn находим из условия интерполяции: при х=х0, Р(х0)=а0=y0 ; при х=x1, Р(х1)=y0+а1(х1-х0)=у1 → а1=(у1-у0)/h; при х=x2, P(x2)=y0+a1(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)=y2. Используя табличные значения уk через конечные разности: y1=y0+Δ y0, y2=y0+2Δ y0+Δ 2y0, …, yn=y0+nΔ y0 + , найдем . Аналогично, …, .   Подставим: .(8.10) Многочлен (8.10) называется первым интерполяционным многочленом Ньютона, а приближенное равенство – первой интерполяционной формулой Ньютона. На практике чаще всего используется другая форма записи многочлена Р. Положим Тогда Многочлен примет вид Получаем выражения остаточного члена: . С помощью первой интерполяционной формулы Ньютона обычно вычисляют значение f(x), близких к х0. Второй интерполяционный многочлен Hьютона применяется при вычислении значений функции для х близких к хn. или Многочлен называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона, а приближенное равенство – второй интерполяционной формулой Ньютона. Остаточный член будет иметь вид 8.8. Интерполяционный многочлен Ньютона для неравномерной сетки Пусть исходная сеточная функция задана на неравномерной сетке х0, …, хn c шагом . Тогда для функциональной интерполяции может быть использован многочлен Ньютона, основанный на разделенных разностях: Многочлен будет совпадать с функцией в узлах, при x=x0, PN(x0)=fn(x0). При x=x1, Замечание! Многочлен Лагранжа: Выбрав любую функцию, можно легко оценить погрешность. Метод Ньютона менее удобен для теоретического исследования. При добавлении нового узла предыдущие слагаемые останутся без изменения. Т.к. слагаемые включают разделенные разности, равносильные производным, то они расположены в порядке малости. Этот факт дает возможность судить о точности и оценить погрешность.   9. Интерполяция сплайнами 9.1. Постановка задачи Полиномиальная интерполяция может давать значительную погрешность между узлами. Для более правильного поведения y(x) применяются задачи экстраполирования, например сплайны. На отрезке задана табличная функция на сетке x0, x1, …, xn. Требуется восполнить её функцией , определенной и непрерывной до некоторого порядка производной на всем отрезке , где – алгебраический многочлен, определенный на частичных отрезках 9.2. Интерполяционный кубический сплайн Рассмотрим задачу восполнения заданной табличной функции на базе ИКС. Определение: S(x)Î C2 [a, b] – ИКС, если 1. На [ xi, xi+1 ] " i=0, …, N-1 является кубическим полиномом: , " x Î [ xi, xi+1 ] 2. Выполняется состыковка многочленов в узлах интерполяции вплоть до второй производной: , где r – порядок производной. 3. Выполняется условия интерполяции: Для определения функции понадобятся коэф-ты. Всего 4N неизвестных. Из (2) условия получаем 3(N-1) уравнений, из (3) условия еще (N+1). Для замыкания системы необходимы еще 2 уравнения, для этого используют граничные условия. Из определения сплайна понятно, что вторая производная – кусочно-линейная функция: (9.1) Дважды интегрируем (9.1) для нахождения S: (9.2) Найдем константы из условия интерполяции: при x=xi Si(xi)=yi, при x=xi+1 Si(xi+1)= yi+1. (9.3) Подставим в (9.2): yi+1 i=0, 1, …, N. (9.4) Возьмем производную от (9.4) и приравняем ее справа и слева: (9.5) При x=xi Si’ =S’i+1 , , где . Получили систему из (N-1) уравнений: , i=1, …, N-1. (9.10) В простейшем случае, когда накладывается нулевые условия на вторую производную, т.е. M0=0, MN+1=0, получим систему уравнений: . (9.11) Для решения системы относительно Мi эффективно использовать метод трехточ. прогонки. Используются краевые условия на первую производную: или Тогда:   Методика построения интерполяционного кубического сплайна 1. Сформировать замкнутую систему относительно неопределенных коэффициентов (9.11). 2. Решить систему методом прогонки, найти неопределенные коэффициенты. 3. Сформировать многозвеньевую функцию (9.4). 10. Интерполяция методом наименьших квадратов 10.1. Постановка задачи Определение вида функциональных зависимостей, получаемых в физическом эксперименте, имеет важное значение. Таблица уi=f(xi)±ei имеет форму ломаной, но экспериментатор предполагает, на основе практического опыта, что функция должна быть гладкой. На практике удобно представить искомую зависимость в виде многочлена: (10.1) где - неизвестные коэффициенты, { }- заданная система базисных функций. В качестве базисных функций могут выбираться, например, степенные функции, полиномы Чебышева, тригонометрические функции . Условия согласования метода сглаживания – метод наименьших квадратов: . (10.2) Отметим отличительные особенности решения задачи сглаживания методом наименьших квадратов: 1. Метод интерполяции это точный метод, так как требует выполнения условий интерполяции. Метод наименьших квадратов требует выполнения условия соответствия в среднем. 2. Исходная функция задана неточно, с большой погрешностью, поэтому нет необходимости требовать выполнения условия интерполяции. 3. Количество точек хi (i=0, …, n) в которых задана исходная функция значительно больше, чем степень многочлена. 10.2. Метод наименьших квадратов Кривая выбирается таким образом, чтобы среднеквадратичные отклонения были минимальными. Пустьзаданы значения функции y0, y1, …, yN в узлах x0, x1, …, xN. g(x) – интерполяционная функция. Нужно, чтобы среднеквадратичная погрешность в каждой точке была минимальна: (10.3) Функцию g(х) выбирают в виде линейной комбинации подходящих функций: g(x)=C1g1(x)+ C2g2(x)+…+ Ckgk(x) (10.4) Если gi – степенные функции, тогда g(x)=C1x+C2x2+…+ Ckxk. Для нахождения минимума погрешности возьмем производную: или (10.5) Далее решаем систему уравнений относительно коэффициентов Сk. * * (10.6) Степень полинома должна быть не больше заданного количества узлов.
Использование ортогональных полиномов Ортогональные полиномы обладают свойством: при построении аппроксимирующей функции использовать gi – ортогональные полиномы произведения при i¹ j, т.е. получим диагональную матрицу: Выразим константы: Применение степенных функций в методе наименьших квадратов В качестве базисных функций используются степенные: , j=0, …, m. Тогда, (10.7) … Обозначим s0=n+1, t0=y0+y1+y2+ +yn Получим систему: (10.8) Методика решения задачи сглаживания 1. Вычислить коэффициенты по заданной табличной функции и записать систему (10.8). 2. Решить полученную систему линейных уравнений относительно коэффициентов . 3. Записать искомую сглаживающую функцию Замечание! 1. Если n=m, тогда полученный многочлен совпадает с интерполяционным многочленом. 2. В каждом конкретном случае может существовать оптимальная степень m, зависящая от числа n и вида базисной функции.   11. Численное интегрирование 11.1. Общие интерполяционные квадратурные формулы Вычисление определенного интеграла от некоторой интегрируемой на [a, b] функции f(x). Вычислить опред. интеграл можно по формуле (11.1) где F(x) – первообразная, её определение возможно в редких случаях. Численными методами приближение к интегралу отыскивается по числовому выражению на основе значений подынтегральной функции в конечном множестве точек из отрезка интегрирования. Такой способ часто называется механической квадратурой: (11.2) где xk – узлы квадратурной формулы. Ak(n) – коэффициенты квадратурной формулы. f(x) – непрерывная функция, интеграл в левой части для такой функции существует. Rn(f) – остаточный член. Узлы нумеруются в порядке возрастания: x1(n)< x2(n)< …< xn(n) Промежуток интегрирования м.б. бесконечным. Общий подход к решению задачи заключается в разбиении отрезка [a, b] на множество отрезков и вычислении интеграла как суммы приближенно вычисленных площадей полос, полученных при разбиении. Схема вычислений методом численного интегрирования: Берут натуральное число , отрезок [a, b] разбивают на n равных частей одинаковой длины (шаг разбиения), из каждой части выбирают узлы , вычисляют значения и применяют квадратурную формулу (11.2). Числовые коэффициенты определяются при выводе каждой конкретной формулы. Остаточный член . Это означает, чем меньше шаг разбиения, тем квадратурная формула точнее. При решении задачи численного интегрирования с заданной точностью ε > 0 необходимо определить число n, при котором Rn < ε, что равносильно выбору такого шага, когда квадратурная формула обеспечивает точность ε. 11.2. Простейшие квадратурные формулы 11.2.1. Формула прямоугольника Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей точками х0< x1< x2< …< xn, каждая длиной . Рассмотрим один из интервалов. Площадь, лежащую под кривой у=f(x) между и будем приближенно вычислять как площадь прямоугольника: (11.3) - формула прямоугольника с левыми ординатами; (11.4) - формула прямоугольника с правыми ординатами; Взяв значение функции в середине отрезка, получим формулу с центральными ординатами. Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей точками х0< x1< x2< …< xn, каждая длиной и найдем 11.2.2. Формула трапеции . На каждом отрезке функцию f(x) заменим по первой интерполяционной формуле Ньютона через конечные разности: где Тогда Складывая почленно приближенные равенства при в силу аддитивности интеграла получим формулу трапеции: На рисунке геометрический смысл этой формулы. Вместо криволинейной трапеции рассматривается фигура, составленная из прямолинейных трапеций с основаниями и высотой h. Оценка погрешностей для ф-лы прямоугольника Для получения оценки погрешности понадобятся следующие теоремы из курса математического анализа. Теорема 1. (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция F непрерывна на отрезке [a, b], а числа m и M – ее наименьшее и наибольшее значения на [a, b]. Тогда для любого числа С, заключенного между m и M, найдется точка такая, что . Теорема 2. (аддитивность интеграла). Если то Теорема 3. (обобщенная теорема о среднем значении интеграла). Пусть: 1) функция непрерывна на отрезке [a, b], функция g(x) интегрируема на этом отрезке; 2) функция g(x) не меняет знак на всем отрезке [a, b]. Тогда существует точка такая, что Получим оценку погрешности для квадратурной формулы прямоугольника. Теорема 4. Если подынтегральная функция имеет на непрерывную производную , то оценка погрешностей формул (3)и (4) дается неравенством где . (11.6) Док-во: Пусть отрезок разбит на n равных частей [х0, x1], [x1, x2], …, [xn-1, xn], каждая длиной . Возьмем любой отрезок [х i-1, хi] (i=1, 2, …, n). Для всякого х из него найдется зависящее от х число такое, что (теорема Лагранжа). Тогда К интегралу в правой части можно применить теорему 3: Сложив левые и правые части при и воспользовавшись теоремой 2, получим: Среднее арифметическое значение функции находится между наименьшим и наибольшим значениями на и равно (с) для некоторого (по теореме 1). Следовательно, Таким образом, получили оценку погрешности квадратурной формулы прямоугольника. Оценка погрешности для ф-лы трапеции Теорема 5. Если f”(x) непрерывна на [a, b], то для квадратурной формулы трапеции формула остаточного члена имеет вид: где Док-во: Пусть – произвольный отрезок из разбиения [a, b] на n равных частей с шагом . Пользуясь формулой остаточного члена для полиномиального интерполирования, получим: где . Проинтегрируем левую и правую часть на отрезке . Так как получим Просуммировав левые и правые части равенств при получим оценку погрешности для формулы трапеции: 11.2.3. Формула Симпсона Для приближения подынтегральной функции на частичном отрезке используется квадратичное интерполирование. Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей точками х0< x1< x2< …< xn, каждая длиной и найдем , но теперь возьмем четное число n. Тогда можно рассматривать «сдвоенные» отрезки [х0, x2], [x2, x4], …, [xn-2, xn] с тремя известными узлами и на них функцию f заменять первым интерполяционным многочленом Ньютона второй степени: где , . Проинтегрируем выражения: Результатом суммирования приближенных равенств будет формула Симпсона: При n=2 интерполирование параболой по 3-м точкам. Формула Симпсона значительно точнее предыдущих квадратурных формул, оценивая погрешности можно показать, что остаточный член: Теорема 6. Если производная четвертого порядка f – подынтегральной функции непрерывна на [a, b], тогда: где Методика вычисления интеграла с заданной точностью 1. Для правой части формулы оценки погрешности вычислить константу С этой целью необходимо продифференцировать функцию p раз и вычислить ее максимальное значение на отрезке [a, b], где р- порядок аппроксимации квадратурной формулы. 2. Из условия где - константа, входящая в правую часть оценки погрешности, определить величину h. 3. По значению h вычислить n – количество разбиений отрезка [a, b] и сформировать сеточное представление функции у=f(x), в точках a=х0< x1< x2< …< xn=b. 4. Поставить сеточную функцию в правую часть соответствующей квадратурной формулы и вычислить искомое значение. При этом значение интеграла в силу справедливости оценки удовлетворяет заданной точности.  

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
I) образцы | Указать правильное соотношение между системным и внесистемным




© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.