Элементарные математические функции

Из многообразия так называемых. элементарных встроенных математических функций отметим лишь некоторые наиболее известные или оригинальные. Аргументами большинства из приведенных ниже функций являются не только скаляры, но и массивы.

pi = 4*atan(1)=imag(log(-1))=3.1415926535897..;

abs(X) - абсолютная величина: для комплексного числа a+bi его модуль равен :

abs(3-4i)=5, abs(-13)=13;

angle(X) - аргумент комплексного числа (из диапазона [-   ]): комплексное X=a+bi представимо как r·e^{i } , где a = r cos , b = r sin :

> > angle(3+4i) ans = 0.9273;

> > angle(1) ans = 0;

> > angle(4+3i) ans = 0.6435;

real(X), imag(X) - действительная и мнимая часть числа;

conj(X) - комплексно-сопряженное:

> > conj(2+3i) ans = 2.0000 - 3.0000i;

ceil(X), fix(X), floor(X), round(X) - округления (до ближайшего целого, не меньшего Х; отбрасывание дробной части; до ближайшего целого, не большего Х; до ближайшего целого);

mod(X, Y) - остаток от деления X на Y;

sign(X) - знак числа (для комплексных X / |X|);

gcd(m, n) -наибольший общий делитель для целых чисел; если использовать оператор [g, c, d]=gcd(m, n), то дает указанный делитель и множители c, d такие, что g==m*c+n*d:

> > f=gcd(18, 27)

f = 9

> > [g, c, d]=gcd(18, 27)

g = 9 c = -1 d = 1;

lcm(m, n) - наименьшее общее кратное:

> > lcm(34, 51)

ans = 102;

rat(X), rat (X, k) - представление цепной дробью с точностью |X|·10^-k/2 (по умолчанию |X|·10^-6):

> > rat(12.5)

ans =13 + 1/(-2)

> > rat(12.546)

ans =13 + 1/(-2 + 1/(-5 + 1/(15)));

rats(X), rats(X, k) - представление отношением целых чисел:

> > rats(12.546) ans = 2045/163;

sqrt(X) - квадратный корень:

> > sqrt(5) ans = 2.2361

> > sqrt(3+4i) ans = 2.0000 + 1.0000i;

exp(X) - экспонента e^x (e^x+iy= e^x(cos y+i siny)):

> > exp(1) ans = 2.7183

> > exp(2+i) ans = 3.9923 + 6.2177i;

pow2(X) - двоичная экспонента 2^x;

log(X) - натуральный логарифм;

log2(X), log10(X) -логарифм по основанию 2 и основанию 10;

sin(X), cos(X), tan(X), cot(X), csc(X), sec(X) - тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс, косеканс, секанс):

sin(x+iy)=sin(x) ch(y) +i cos(x) sh(y); cos(x+iy)=cos(x) ch(y) -i sin(x) sh(y),
tg (X)= sin(X)/ cos(X); ctg(X)=cos(X)/sin(X);
cosec(X)=1/sin(X); sec(X)=1/ cos(X):

> > sin(pi/2) ans= 1;

> > sin(3+4i) ans = 3.8537 -27.0168i;

asin(X) acos(X) atan(X) acot(X) acsc(X) asec(X) - обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т.д.):

> > asin(1/sqrt(2)) ans = 0.7854;

> > asin(3+4i) ans = 0.6340 + 2.3055i;

sinh(X) cosh(X) tanh(X) coth(X) csch(X) sech(X) - гиперболические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс, косеканс, секанс);

функции преобразования координат:

из декартовых (X, Y) в полярные (r, ): r=(X²+Y²)^1/2,  =Arctg(Y/X) - [, r]=cart2pol(X, Y);

из декартовой системы (X, Y, Z) в цилиндрическую (r, , Z) - [, r, Z]=cart2pol(X, Y, Z);

из декартовой системы в сферическую (r,   ): r=(X²+Y²+Z²)^1/2,  =Arctg(Z/ (X²+Y²)^1/2),  =Arctg(Y, X) - [  , r]=cart2sph(X, Y, Z);

из полярной и цилиндрической в декартову (pol2cart):

X=r·cos(j), Y=r·sin(j);

из сферической в декартову (sph2cart):

Z=r·sin(j), X=r·cos(j)·cos(q), X=r·cos(j)·sin (q)

(эти функции незаменимы при графических отображениях результатов анализа, хотя многое из их графики уже предлагается среди готовых библиотечных средств);

специальные функции (цилиндрические функции Бесселя, Неймана, Ханкеля; функции Эйри, эллиптические функции Якоби и эллиптические интегралы, интегральная показательная функция, присоединенные функции Лежандра и много других функций, полезных при изучении физических процессов);

функции линейной алгебры, аппроксимации данных, численного интегрирования, поиска корней уравнений, обслуживания графики, обработки дат, множеств и др.

Для того, чтобы познакомиться с поведением какой-либо функции, можно поступить по аналогии с примитивным примером:

> > t=-pi: 0.01: pi; % значения аргумента от -  до  с шагом 0.01 (без вывода на экран);

> > e=sin(t); % массив значений функции;

> > plot(t, e) % построение графика функции.

Интерактивный графический калькулятор — funtool.

В командной строке MATLAB набрать функцию funtool и запустить на выполнение (Enter). Самостоятельно проделать возможные построения и вычисления: графики стандартных функций, дифференцирование и интегрирование функциональных выражений, обращение функций, сложение двух функций и т.д.