Геометрическая иллюстрация метода итераций.

Построим на плоскости хОу графики функций у = х и y = φ (x). Каждый действительный корень является абсциссой точки пересечения М прямой у = х и кривой y = φ (x). отправляясь от некоторой точки А₀(х₀, φ (x₀)) строим ломаную линию А₀В₁А₁В₂А₂В_….. («лестница»), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и Оу, вершины А₀, А₁, А₂, … лежат на кривой y = φ (x), а вершины В₁, В₂, В₃, … лежат на прямой у = х. Общие абсциссы точек А₁ и В₁, А₂ и В₂, …, представляют собой соответственно последовательные приближения x₁, x₂, … корня ξ.

Возможен также другой вид ломаной А₀В₁А₁В₂А₂В_…. («спираль»). Очевидно, решение в виде «лестницы» получается, когда производная φ ′ (x) положительна. Решение в виде «спирали», получается, когда φ ′ (x) отрицательна. При этом процесс итерации сходится, если | φ ′ (x)| < 1, т.е. угловой коэффициент касательной к кривой по модулю меньше единицы. Если | φ ′ (x)| > 1, то процесс итерации может расходиться.

y = x y = φ (x)

y B₁ A₀

B₂

A₁

B₃

M A₂

A₃

ξ x₃ x₂ x₁ x₀ x

y y = x

A₁ B₂

B₃ A₃ A₀

B₁ y = φ (x)

x₁ x₃ ξ x₂ x₀ x

П р и м е р.

Составим далее на языке QBASIC программу нахождения корня уравнения

f(x) = 1 – 3 x + cosx =0 (**)

методом итераций с точностью Е =0.0001.

Ранее показано, что единственный корень уравнения находится на интервале [-1, 1].

f′ (x) = -3 – sin x < 0, |f′ (x)| ≤ 4, |f′ (x)| ≥ 2.

Представляем уравнение (**) в виде

x = φ (x) = λ f(x) + x (***)

 

λ = ¹ / _r, r = max |f′ (x)| = 4

x = ¹ / _r (1 -3 x + cos x) +x = ¹/₄ (1 + x + cos x) ≡ φ (x)

Для определения окончания процесса итерации находим величину q из условия

| φ ′ (x)|≤ q < 1

|φ ′ (x)| = | ¹/₄ (1− sin x)| ≤ ¹/₄ (1+ sin 1) ≈ 0, 46, отсюда q = 0.46.

Блок-схема программы нахождения корня методом простых итерации имеет следующий вид.

Ввод x₀, E, q

 

q1 = ^{(1 – q) E}/ _q величина, необходимая для определения

окончания процесса итерации.

 

n = 0, x = x₀ n – счетчик числа итераций

 

t = 0.25 (1 + x + cosx)

 

 

n = n + 1

 

нет

|x – t | < q1

 

 

да

Вывод root = x, n

 

x = t

 

end

 

Текст программы имеет вид:

x0 = 0

E =.0001

q =.46

q1 = (1 - q) * E / q

n = 0

x = x0

n1: t =.25 * (1 + x + COS(x))

n = n + 1

IF ABS(x - t) < = q1 THEN WRITE " root x =", x, n: GOTO n2

x = t

GOTO n1

n2: END

 

− Ответ программы: x =0.6070896 или, округляя x = 0. 6070857, n = 6.

Рассмотренную задачу можно решить в среде MathCAD.

 

f(x) = 1 – 3x + cosx =0

Представим один из способов решения трансцендентного уравнения в среде MathCAD.

Открываем рабочий лист и записываем левую часть уравнения

Затемняем один символ (переменную х) в этой записи путем протаскивания курсора. Открываем меню «Символ», подменю «Переменные», щелчок по строке «Решить». На ра бо чемлисте появится результат. Делаем округление.

 

.60710

Строим график функции, определяющей левую часть уравнения.