Численное дифференцирование

Численное дифференцирование применяется, если непосредственное дифференцирование функции, заданной аналитически, затруднительно, а также, если требуется найти производную функции, заданной в виде таблицы. Численное дифференцирование позволяет определять такие важные характеристики как скорость и ускорение изменения величин. Например, в экономике оценка первой производной может быть использована для определения темпа изменения какого-либо экономического показателя. Численное дифференцирование широко используется при решении дифференциальных уравнений разностными методами.

Основная идея, используемая при численном дифференцировании, заключается в том, что функция, заданная таблично или аналитически, заменяется аппроксимирующей функцией

. (3.1)

Здесь – аппроксимирующая функция, – остаточный член. Вычислив производную порядка

, (3.2)

пренебрегая остаточным членом, получим формулу численного дифференцирования

. (3.3)

Отметим, что пользоваться формулой (3.3) можно при малых .

Следует обратить внимание на неустойчивость в задаче вычисления производной. Действительно, при малых изменениях функции на малом интервале вблизи точки , в которой оценивается производная, можно получить другую функцию с любым заданным значением производной в этой точке. Это замечание говорит о том, что при реализации операции численного дифференцирования необходимо контролировать результат, например, осуществлять расчеты повторно другим методом.