Точные и приближенные числа. Правила округления чисел

В повседневной практической деятельности, а также при решении той или иной задачи используются числа двух видов: точные и приближенные. Например, число 3 является точным, если речь идет о числе сторон треугольника. Если же число 3 – длина стороны треугольника или оно используется вместо числа p в вычислениях, то оно будет числом приближенным.

Определение 1. Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее его в вычислениях.

Приближенные числа обычно получаются в результате либо измерений, либо счета, либо выполнения различных математических операций (округления, деления, извлечения корня, вычисления синуса, логарифма и т.д.).

При работе с приближенными числами вычислитель должен уметь решать следующие задачи:

1. давать математические характеристики точности приближенных чисел;

2. зная степень точности исходных данных, оценивать степень точности результата (прямая задача теории погрешностей);

3. выбирать исходные данные с той точностью, которая обеспечит заданную точность результата (обратная задача теории погрешностей);

4. оптимальным образом строить вычислительный процесс, чтобы не производить расчетов, не влияющих на точные цифры результата.

Как уже говорилось, одним из источников получения приближенных чисел является округление. Сформулируем правила округления:

1. если отбрасываемые при округлении цифры составляют число, большее половины единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;

2. если отбрасываемые при округлении цифры составляют число, меньшее половины единицы последнего оставляемого разряда, то оставляемые цифры остаются без изменения;

3. при округлении, когда отбрасываемые цифры составляют число, равное половине единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры).

Пример 1. Округлить следующие числа:

А₁ = 271, 5001 до целых,

А₂ = 271, 15 до десятых,

А₃ = 271, 25 до десятых,

А₄ = 0, 15497 до сотых.

Решение. Так как при округлении числа А₁ до целых отбрасываемые цифры (5001) составляют число 0, 5001, большее половины от единицы (последнего оставляемого разряда), последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу (пункт 1). Поэтому после округления А₁ получаем число а₁ =272.

При округлении чисел А₂ и А₃ по правилу четной цифры (пункт 3) получаем а₂ = 271, 2; а₃ = 271, 2.

При округлении числа А₄ (пункт 2) получаем а₄ =0, 15.