Гипербола 4 страница

Екінші кезң де (кері жү ріс) мү мкін болса, шық қ ан жү йеден біртіндеп белгісіздерді табады. Практикада жү йемен емес кең ейтілген матрицамен істеген ың қ айлы болады. Сондық тан жү йені Гаусс ә дісімен шешу ү шін кең ейтілген матрица қ ұ рып, оны элементарлық тү рлендірудң кө мегімен трапеция тң різдес тү рге келтіреді. Бұ л жақ дайда коэффициентінң 1-ге тең болқ аны ың қ айлы. Ол ү шін тең деулердң орындарын ауыстыру керек немесе тең деудң екі жақ ын да бө лу керек. Содан соң қ айтадан жү йе қ ұ рып, сол жү йені шешеміз.

6-мысал. жү йесін Гаусс ә дісімен шешу керек.

~ Екінші матрицаның екінші жолын алу ү шін бірінші жолды -ге кө бейтіп, екінші жолқ а қ остық, ал ү шінші жолын алу ү шін бірінші жолды ге кө бейтіп, ү шінші жолқ а қ остық. Жү йе матрицасы ү шбұ рышты тү рге келді. Енді қ айтадан матрицадан жү йеге кө шейік жә не соң қ ы жолдан бастап жазайық.

. Осыдан . Жауабы:

Теорема (Кронекер-Капелли) жү йе ү йлесімді болуы ү шін жү йенң матрицасының рангі кең ейтілген матрицаның рангіне тең болуы қ ажетті жә не жеткілікіті, яқ ни .

Ң дебиеттер: 1 нег.[ 20-41], 11 қ ос. [115-135].

Бақ ылау сұ рақ тар:

1. Матрицаның рангісінң анық тамасын берң із.

2. Кері матрицаның анық тамасын берң із.

3. Кері матрица қ алай есептелінеді?

4. Сызық тық тең деулер жү йесін шешудің ә дістерін айтың ыз.

№3-дә ріс. Векторлар. Скалярлық кө бейтінді. Векторлар

Вектор деп бақ ытталқ ан кесіндіні айтады, яқ ни кесіндінң белгілі бір ұ зындық ы жә не бақ ыты болады. Егер А – вектордың басы, ал В –вектордың ұ шы болса, онда вектор немесе символымен белгіленеді. векторы векторына қ арама-қ арсы вектор деп аталады (оның басы В нү ктесінде, ал ұ шы А нү ктесінде орналасқ ан). векторына қ арама-қ арсы векторды деп белгілейді. векторының ұ зындық ы немесе модулі деп кесіндісінң ұ зындық ын айтады жә не оны немесе деп белгілейді. Ұ зындық ы нө лге тең векторды нө лдік вектор деп атайды жә не ол деп белгіленеді. Нө лдік вектордың бақ ыты болмайды.

Ұ зындық ы бірге тең векторды бірлік вектор деп атайды жә не оны деп белгілейді. Егер бірлік вектордың бақ ыты векторының бақ ытымен сң йкес келсе, онда ол векторының орты деп аталады жә не деп белгіленеді.

Параллель тү зулерде немесе бір тү зудң бойында жататын векторлар коллинеар векторлар деп аталады жә не || деп белгіленеді. Коллинеар векторлар бақ ыттас болуы да, қ арама-қ арсы бақ ытта да болуы мү мкін.

Егер екі жә не векторлары коллинеар болып, бақ ыттас жә не ұ зындық тары бірдей болса, онда оларды тең векторлар () дейді. Тең векторлар еркін векторлар деп те аталады. Бұ л векторлардың басталқ ан нү ктесін кең істіктегі кез келген нү ктеге кө шіруге болады. Аналитикалық геометрияда еркін (бос) векторлар қ арастырылады.

Егер кең істіктегі ү ш вектор бір жазық тық та немесе параллель жазық тық тарда жатса, онда олар компланар векторлар деп аталады.

9-10-дә ріс. Векторларқ а қ олданылатын сызық тық амалдар

Сызық тық амалдар деп, векторларды қ осу жә не алу, векторды санқ а кө бейту амалдарын айтады.

Екі вектордың қ осындысын екі жолмен табуқ а болады: бірі параллелограмм ә дісі, екіншісі ү шбұ рыштар ә дісі.

Параллелограмм ә дісі. жә не векторларының қ осындысы деп, жә не векторларының ортақ бас нү ктесінен шық атын, параллелограммның диагоналіне сң йкес келетін векторды айтады.

Ү шбұ рыштар ә дісі. Егер векторының басы векторының ұ шына орналасса, онда жә не векторларының қ осындысы деп, векторының басы мен векторының ұ шын қ осатын векторды айтады.

Бір нү ктеден шық атын жә не векторларының айырымы деп векторының ұ шын векторының ұ шымен қ осатын векторды айтады.

векторының санына кө бейтіндісі деп ұ зындық ы -қ а тең, векторына коллинеар, егер болса векторымен бақ ыттас жә не болса, векторына қ арама-қ арсы бақ ытталқ ан векторын айтады. жә не векторларының коллинеарлық ының қ ажетті жә не жеткілікті шарты:

Векторлардың сызық тық тң уелділігі. Базис

векторлар жү йесі берілсін.

векторлар жү йесі ү шін бң рі бірдей нө лге тең емес жә не

теә дігін қ анақ аттандыратын сандары табылса, онда векторларын сызық тық тң уелді векторлар деп атайды. Ал егер теә дік тек сандарының БАРЛЫҒ Ы бірдей нө лге тең болқ анда қ ана орындалса, онда векторлар жү йесі сызық тық тң уелсіз деп аталады.

Егер теә дігі орындалатын сандары табылса, онда векторы векторларының сызық тық комбинациясы деп аталады.

Теорема. Екі вектор сызық тық тң уелді болуы ү шін олардың ө зара коллинеар болуы қ ажетті жә не жеткілікті.

Бұ л теоремадан кез келген коллинеар емес екі вектор сызық тық тң уелсіз болады деген қ орытынды шық ады.

Теорема. Ү ш вектор сызық тық тң уелді болуы ү шін олардың компланар болуы қ ажетті жә не жеткілікті. Бұ л теоремадан кез келген компланар емес ү ш вектор сызық тық тң уелсіз векторлар жү йесін қ ұ райды деген қ орытынды шық ады. Егер жазық тық та кез келген векторы ү шін нақ ты сандары табылып, мына теә дік орындалса, онда белгілі ретпен алынқ ан сызық тық тң уелсіз векторлар жұ бы жазық тық тақ ы базис деп аталады. Мұ ндақ ы сандары векторының базисіндегі координаттары деп аталады да былай белгіленеді: . Егер кең істікте кез келген векторы ү шін нақ ты сандары табылып, мына теә дік орындалса, онда белгілі ретпен алынқ ан сызық тық тң уелсіз векторлар ү штігін кең істіктегі базис деп атайды. Мұ ндақ ы сандары векторының базисіндегі координаттары деп аталады да былай белгіленеді: .

Базисті қ ұ раушы векторлар базистік векторлар деп аталады. Осы анық тамалар мен теоремалардан кез келген коллинеар емес екі вектор жазық тық та, ал кез келген компланар емес ү ш вектор кең істікте базистік векторлар жү йесі болады деген қ орытынды шық ады.

Векторды координат ө стердң орттары арқ ылы жіктеу. Вектордың модулі. Кең істіктегі тік бұ рышты декарттық координаталар жү йесін қ арастырайық. Ох, Оу, Oz координат ө стерінң бойында жатқ ан бірлік (орт) векторларды сң йкесінше деп белгілейік. Сонда реттелген ү штік кең істікте базистік векторлар жү йесін қ ұ райды. Мұ ндай, базистік векторлар жү йесін ортогональ базистік жү йе (базис) деп атайды . , себебі ү ш вектордың қ осындысы.

Бұ л формула вектордың координат ө стерінң орттары арқ ылы жіктелген тү рі деп аталады немесе қ ысқ аша деп жазады.

Екінші жақ ынан = , Осыдан болқ андық тан - вектордың модулі (ұ зындық ы).

1-мысал. Егер , онда Егер векторы Ох, Оу, Oz ө стерімен сң йкесінше бұ рыштарын қ ұ рса, онда

, осыдан болады.

Мұ ндақ ы сандары векторының бақ ыттаушы косинустары деп аталады. Алдың қ ы ө рнекті вектордың модулінң формуласына қ ойып,

теә дігін аламыз. бірлік векторының коодинаттары екенін оң ай байқ ауқ а болады. Сонымен, .

2-мысал. векторы ү шін

Координаттарымен берілген векторларқ а амалдар қ олдану

, болса,

Векторлардың теә дігі

болқ анда қ ана жә не векторлары тең болады, яқ ни

Векторлардың коллинеарлық ы. || болқ андық тан оны деп жазуқ а болады, мұ ндақ ы - қ айсыбір сан. Осыдан -екі вектордың коллинеарлық ының белгісі.

Нү ктенң координатасы. Кең істікте тік бұ рышты декарттық координаттар жү йесі берілсін. Кез келген М нү ктесінң координаты деп, векторының координатын айтады. векторы М нү ктесінң радиус-векторы деп аталады жә не деп белгіленеді. Сонымен, немесе . М нү ктесінң координатасы деп жазылады.

Вектордың координатасы. Егер жә не нү ктелерінң координаттары берілсе, онда векторының координатасы былай есептелінеді: .

3-мысал. берілсе, онда базисінде .

Кесіндіні берілген қ атынаста бө лу. жә не нү ктелері арқ ылы ө тетін кесінді берілсін. Осы кесіндіні қ атынасындай етіп бө летін нү ктесінң координаттары: , , - кесіндіні берілген қ атынаста бө лу формулаларымен анық талады. Егер болса, яқ ни онда

, , - кесіндінң ортасын табу формуласы.

Анық тама. Екі жә не векторларының скалярлық кө бейтіндісі деп санын айтады. Скаляр кө бейтінді , , символдармен белгіленеді. Мұ ндақ ы (), болқ андық тан деп жазуқ а болады.

4-мысал. Егер , , , онда

Теорема. базисінде векторының координаталары , ал векторының координаталары болсын. Онда .

5-мысал. Егер , болса, онда

Скалярлық кө бейтіндінң қ олданылуы

1. немесе

2.

3. () немесе