Способ вспомогательных секущих сфер

При построении линии пересечения ряда поверхностей более рациональным является использование в качестве секущих поверхностей не плоскости, а сферы.

Особенности пересечения соосных поверхностей вращения позволяют при построении линии пересечения поверхностей в качестве вспомогательных секущих поверхностей использовать сферы, соосные с данными поверхностями. Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружностям.

Для применения вспомогательных концентрических секущих сфер при построении линии пересечения поверхностей необходимо соблюдение следующих трех условий:

1) обе пересекающиеся поверхности должны быть только поверхностями вращения;

2) оси поверхностей вращения должны пересекаться;

3) оси вращения поверхностей должны быть параллельны одной из плоскостей проекций, то есть имеется общая плоскость симметрии.

Центром концентрических секущих сфер является точка пересечения осей вращения заданных поверхностей. Сфера пересекает каждую из заданных поверхностей по окружностям, которые проецируются на одну из плоскостей проекций в виде прямых линий (отрезков). При этом отрезки прямых линий непременно должны пересекаться в точках, принадлежащих линии пересечения поверхностей.

Проведение ряда таких концентрических сфер, дает возможность получить большое число промежуточных точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей.

Использование данного метода рассмотрим на пересечении произвольной F¢ (i, e) и конической F¢ ¢ (s, k) поверхностей вращения, имеющих общую плоскость симметрии S (S₁) (рис.172).

Линия пересечения q = F¢ g F¢ ¢.

Вначале построим верхнюю А (А₂) и нижнюю В (В₂) точки линии пересечения – это точки пересечения главных меридианов заданных поверхностей. За центр вспомогательных секущих сфер примем точку О (О₂) = i₂ g j₂. Для определения пределов изменения радиусов вспомогательных секущих сфер выбираем отрезок О₂В₂, равный расстоянию от центра О (О₂) до наиболее удаленной точки линии пересечения В (В₂), который будет радиусом максимальной сферы. Радиус минимальной сферы равен радиусу большей из двух сфер, вписанных в данные поверхности, то есть отрезку ON (O₂N₂). Радиусы остальных Rⁱ должны удовлетворять условию: O₂N₂ £ Rⁱ £ O₂B₂.

Проведя достаточное число сфер, получим множество точек, определяющих с большой степенью точности линию q пересечения заданных поверхностей.

Для построения горизонтальной проекции линии пересечения используем принадлежность построенных точек параллелям поверхности, которые проецируются на плоскость П₁ в натуральную величину.

Заданные поверхности F¢ и F¢ ¢ имеют общую плоскость симметрии S(S₁), поэтому на плоскости П₂ проекция линия пересечения будет видимой. Для горизонтальной плоскости проекций точки Е и F будут являться точками границы видимости. Точки Е₂ º F₂ получены при пересечении кривой q (q₂) с плоскостью симметрии поверхности F¢ ¢. Точки Е₁ и F₁ на плоскости П₁ будут точками соприкосновения линии q₁ с очерковыми образующими конической поверхности.

Алгоритм решения данной задачи можно записать следующим образом:

1) А (А₂), В (В₂) Î q₂ → A₁, B₁ Î S₁.

2) Сфера g F¢ = p, сфера g F¢ ¢ = p¢, p₂ ^ i₂, p¢ ₂ ^ j₂.

3) p, p¢ Î сфере, p g p¢ = A1EBFA …. Î q.

4) A₂E₂B₂ … F₂A₂ = q₂