Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Признак Коши
Доказательство (аналогично доказательству теоремы Даламбера). Из определения предела следует: для любого e> 0 существует такой номер N, что для всех n> N, то выполняется неравенство . 1) Пусть l < 1 и q – любое число, удовлетворяющее условию l < q < 1. Примем e= q - l. Тогда , или для n > N, откуда an< qn. Придавая n значения N+1, N+2, …, N+k, получаем an+1 < q N+1, an+2 < q N+2, …, an+k < q N+k, … От данного ряда отбросим первые N членов. Получаем ряд an+1 + an+2 +…+an+k+… Сравним этот «отсеченный» ряд с рядом qN+1 + qN+2 +…+ qN+k +…, который представляет собой сходящийся геометрический ряд, так как его знаменатель q0< q< 1. Так как члены «отсеченного» ряда меньше соответствующих членов геометрического ряда, то по признаку сравнения «отсеченный» ряд сходится. Но тогда сходится и данный ряд (теорема 14.1.3). L> 1. В этом случае (см. признак Даламбера) члены ряда, начиная с номера N попадают в окрестность точки l, т.е. становятся больше единицы: an> 1. Тем самым не выполняется необходимый признак сходимости. Ряд расходится. Примеры. Исследовать на сходимость ряды. 1. Найдем , ряд сходится. 2. Найдем , ряд расходится.
|