Электрические цепи с одним источником энергии и пассивными (резистивными) элементами

Многие электрические цепи имеют лишь один источник энергии и то или иное число пассивных (резистивных) элементов. Это могут быть приемники электрической энергии и различные вспомогательные элементы.

Расчет и анализ неразветвленных и некоторых разветвленных цепей с одним источником и пассивными элементами производится с помощью закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа, не требует совместного решения уравнений. Во многих случаях расчет и анализ осуществляются путем замены отдельных участков, а затем всей цепи одним элементом с эквивалентным сопротивлением и последующего перехода в процессе расчета к заданной цепи. В некоторых случаях целесообразно воспользоваться методом эквивалентного генератора

Электрические цепи с последовательным соединением резистивных элементов.

Последовательным называется такое соединение элементов, когда условный конец первого элемента соединяется с условным началом второго, конец второго — с началом третьего и т. д. Характерным для последовательного соединения является один и тот же ток во всех элементах. Последовательное соединение нашло широкое применение на практике. Например, последовательно с приемником r часто включается резистор r_р для регулирования напряжения, тока или мощности приемника (рис. 1.5, а). Для расширения пределов измерения вольтметров последовательно с ними включают добавочные резисторы r_д (рис. 1, 5, б). С помощью реостата, включаемого последовательно в различные ветви цепи двигателя постоянного тока, производят изменение его пускового тока или частоты вращения.

Рис. 1.5. Схема электрических цепей с последовательным соединением резистивных элементов

В общем случае при последовательном соединении и резистивных элементов (рис. 1.5, в) ток в цепи, напряжения на элементах и потребляемые ими мощности определяются следующими соотношениями:

, ,

где k = 1, 2,..., n — номер элемента; r_э = Σ r_k — эквивалентное сопротивление цепи.

Напряжение и мощность всей цепи

,

Соотношение между напряжениями, мощностями и сопротивлениями элементов

U_k /U_l = P_k /P_l = r_k /r_l,

где l = 1, 2,..., n — номер элемента.

С помощью приведенных формул нетрудно выяснить характер изменения тока, напряжений и мощностей при изменении значений сопротивлений или числа включенных резистивных элементов. Например, если увеличить число элементов, то эквивалентное сопротивление возрастает, а ток, напряжения и мощности ранее включенных элементов уменьшаются; уменьшается также и общая мощность.

Приемники электрической энергии последовательно, как правило, не соединяются, так как при этом требуется согласование номинальных данных приемников, исключается возможность независимого их включения и отключения, а при выходе из строя одного из приемников отключаются также остальные приемники. Чаще их включают параллельно.

Электрические цепи с параллельным соединением резистивных элементов.

Параллельным называется такое соединение резистивных элементов, при котором соединяются между собой как условные начала всех элементов, так и их концы (рис. 1.6, а). Характерным для параллельного соединения является одно и то же напряжение U на выводах всех элементов. Параллельно соединяются обычно различные приемники электрической энергии и другие элементы электрических цепей, рассчитанные на одно и то же напряжение. При параллельном соединении не требуется согласовывать номинальные данные приемников, возможно включение и отключение любых приемников независимо от остальных, а при выходе из строя какого-либо приемника остальные остаются включенными.

Рис. 1.6. Схемы электрических цепей с параллельным соединением резистивных элементов

Параллельное соединение применяется часто для расширения пределов измерения амперметров (рис. 1.6, б): если ток I в электрической цепи превышает номинальный ток I_ном амперметра, параллельно с ним включают шунтирующий резистор r_ш. Нередко параллельное соединение используют для уменьшения эквивалентного сопротивления какого-либо участка электрической цепи.

Токи и мощности параллельно соединенных ветвей (рис. 1.6, а) при U = const не зависят друг от друга и определяются по формулам

I_k = U/r_k = Ug_k; P_k = UI_k = U²/r_k = U²g_k = I_k²r_k.

Ток и мощность всей цепи

;

,

где — эквивалентная проводимость; r_э=1/g_э — эквивалентное сопротивление.

Соотношения между токами, мощностями, проводимостями и сопротивлениями:

I_k /I_l = P_k /P_l = g_k /g_l = r_l /r_k.

При увеличении числа параллельно соединенных ветвей эквивалентная проводимость электрической цепи возрастает, а эквивалентное сопротивление соответственно уменьшается. Это приводит к увеличению тока I. Если напряжение остается постоянным, то увеличивается также общая мощность Р; токи и мощности ранее включенных ветвей не изменяются.

Электрические цепи со смешанным соединением резистивных элементов.

Смешанным, или последовательно-параллельным, называется такое соединение резистивных элементов, при котором на одних участках электрической цепи они соединены параллельно, а на других последовательно.

Смешанное соединение имеет место, например, при питании приемников с сопротивлениями r₁ и r₂ по проводам электрической сети с сопротивлениями r_л (рис. 1.7, а), при регулировании напряжения приемника r с помощью делителя напряжения (потенциометра) r_д (рис. 1.8, а), в случае измерения вольтметром напряжения на одном из резисторов (рис. 1.8, б).

Анализ и расчет электрических цепей со смешанным соединением резистивных элементов производится чаще всего путем предварительных их преобразований. Рассмотрим в качестве примера последовательность расчета электрической цепи, изображенной на рис. 1.7, а.

Пример 1.2. В электрической цепи рис. 1.7, a U = 115 В, r₁= 20 Ом, r₂ = 30 Ом, r_л = 0, 5 Ом.

Определить токи, напряжение U_ab приемников, мощности приемников, потери напряжения и мощности в проводах, мощность, потребляемую от источника.

Решение. Электрическая цепь рис. 1.7, а может быть заменена цепями, изображенными на рис. 1.7, б и в, в которых

,

Используя электрическую цепь, изображенную на рис. 1.7, в, определим ток I, а перейдя к цепям рис. 1.7, а и б, найдем напряжение U_ab и токи I₁ и I₂:

I = U/r_э ≈ 8, 85 A; U_ab = Ir_э1 = 106, 2 В;

I₁ = U_ab/r₁ ≈ 5, 31 А; I₂ = U_ab /r₂ ≈ 3, 54 А

Мощности приемников и мощность, потребляемая из сети,

P₁ = U_ab I₁≈ 564 Вт, Р₂ = U_ab I₂ ≈ 376 Вт,

Р = UI ≈ 1018 Вт.

Рис. 1.7. Схема электрической цепи (а) к примеру 1.2 и схемы эквивалентных ей цепей (б и в)

Потери напряжения и мощности в проводах

2I_лr_л = 8, 85 В, 2I_л²r_л ≈ 78 Вт.

Используя соотношения, полученные в примере 1.2, нетрудно сделать следующие важные выводы в отношении характера изменения различных величин при смешанном соединении резистивных элементов. С увеличением числа приемников в электрической цепи (см. рис. 1.7, а) сопротивления r_э1 и r_э уменьшатся. Это приведет к увеличению тока I, мощности Р, потерь напряжения 2Ir_л и мощности 2I²r_л. Из-за увеличения потерь напряжения в проводах снизится напряжение U_ab и как следствие этого уменьшатся токи I₁ и I₂, а также мощности P₁ и Р₂.

Рис. 1.8 Примеры электрических цепей со смешанным соединением резистивных элементов

Чтобы напряжение приемников незначительно колебалось при изменении их числа или режима работы и было близким к номинальному, площадь поперечного сечения S проводов рассчитывают по допустимой потере напряжения Δ U при номинальном режиме из формулы

В электрических цепях различного назначения допустимая потеря напряжения лежит примерно в пределах 2 — 6%.

Из двух сечений проводов, определенных по нагреванию и допустимой потере напряжения, выбирают большее.

Электрические цепи, содержащие соединения резистивных элементов треугольником.

Под соединением треугольником (рис. 1.9, а) понимается такое, при котором вывод К1 одного из элементов соединяется с выводом Н2 второго, вывод К2 второго - с выводом Н3 третьего, а вывод К3 третьего — с выводом H1 первого элемента. Узловые точки a, b и с подключаются к остальной части электрической цепи.

Рис. 1.9. Схема соединения резистивных элементов треугольником (а) и звездой (б)

Для упрощения анализа и расчета некоторых электрических цепей, содержащих соединения резистивных элементов треугольником, целесообразно заменить их эквивалентными резистивными элементами, соединенными звездой (рис. 1.9, б). Примером подобных электрических цепей являются мостовые цепи (рис. 1.10, а). Как видно, в мостовой цепи резистивные элементы образуют два смежных треугольника (rab, rbc, rcaиrbc, rbd, rdc) и нет ни одного элемента, который был бы соединен с другими последовательно или параллельно. Это осложняет расчет и анализ электрической цепи. Однако если заменить, например, резистивные элементы r_ab, r_bc и r_са, соединенные треугольником, эквивалентными элементами r_a, r_b и r_с, соединенными звездой (рис. 1.10, б), то получим цепь со смешанным соединением резистивных элементов, методика расчета которой была рассмотрена выше.

Рис. 1.10. Схема мостовой цепи (а) и соответствующая ей схема после замены одного из треугольников звездой (б)

Замена треугольника резистивных элементов эквивалентной звездой должна производиться таким образом, чтобы после указанной замены токи в остальной части цепи, а также напряжения между точками ab, be и са остались без изменения.

С помощью законов Кирхгофа можно получить следующие формулы для определения сопротивлений эквивалентной звезды:

; ; (1.23)

Иногда оказывается целесообразным заменить резистивные элементы, соединенные звездой, эквивалентным треугольником. Соответствующие формулы можно получить путем совместного решения выражений (1.23).

Следует заметить, что для расчета мостовых цепей часто используется метод эквивалентного генератора (см. § 1.14 и пример 1.4).