Первообразные корни из единицы

ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

В ТЕОРИЮ ГАЛУА

Методические указания

Иркутск - 2004

Печатается по решению научно-методического совета

Иркутского государственного университета

Кратко, в современных обозначениях, с примерами и упражнениями для самостоятельной работы рассмотрена история проблемы решения в радикалах алгебраических уравнений - одной из тех проблем, разрешение которых естественным образом привело к созданию в первой половине прошлого века элементов новой алгебры.

Предназначены для учителей, школьников старших классов со специализацией по математике и студентов математических факультетов пединститутов и университетов.

Библиогр. 7 назв.

Составитель: доц. С.Н. Марков (кафедра математического анализа)

Работа выполнена при частичной поддержке Международной Соросовской Программы Образования в Области Точных Наук,

грант 1111d.

ЛР N020592 от 09.07.92. План 2004 г.

Подписано в печать 13.10.04. Бумага писчая.

Объем 1, 2 п.л. Тираж 50 экз.

Редакционно-издательский отдел

Иркутского государственного университета

664000, Иркутск, бульвар Гагарина, 36.

Отпечатано на RISO. Отдел оперативной типографии ВЦ ИГУ.

664003, Иркутск, бульвар Гагарина, 20, тел. 33-22-10.

- 3 -

Введение

Теоретико-групповые методы исследования, составившие ядро новой алгебры XIX века, уже давно являются для математиков необходимым элементом вузовского образования. Для подготовки школьников старших физико-математических классов к дальнейшей учебе в вузе представляется желательным предварительное ознакомление их с важнейшими элементами вузовской математики с тем, чтобы заранее сориентировать их и лучше подготовить к восприятию основных математических курсов в вузе. Новая алгебра - алгебра структур, изучаемая в вузе, разительно отличается от школьной алгебры уравнений и формальных преобразований. Теория Галуа (в узком смысле, как теория разрешимости в радикалах алгебраических уравнений) исторически являлась одним из " мостиков" между математикой школьной и математикой вузовской. Поэтому ознакомление школьников старших физико-математических классов с элементами этой теории представляется одним из естественных путей подготовки их к лучшему восприятию вузовской алгебры. Этой цели и служит спецкурс " Историческое введение в теорию Галуа".

Основная теорема алгебры.

Первообразные корни из единицы

Основная теорема алгебры, первые формулировки которой относятся к началу XVII века, утверждает, что всякий многочлен с вещественными или комплексными коэффициентами имеет всего столько вещественных или комплексных корней (с учетом их кратности), какова его степень. В частности, имеется ровно n корней n -ой степени из единицы, т.е. корней уравнения

xn= 1. Вещественное или комплексное число называется первообразным корнем n -ой степени из единицы, если , но при всяком целом положительном k < n. Например, первообразными корнями 3-й степени из единицы будут и , геометрически они изображаются вершинами правильного треугольника, вписанного в единичную окружность на комплексной плоскости. Первообразными корнями 4-й степени из единицы будут = .

Упражнение 1. Найдите первообразные корни 5-й степени из единицы.

- 4 -