Существование и единственность интерполяционного многочлена.

Пусть известные значения некоторой функции F(x) образуют таблицу вида табл. 4.1. Будем решать задачу интерполирования этой функции с помощью построения интерполяционного многочле­на n-й степени

G(x) = (4.3)

который в узлах х_i принимает табличные значения у_i:

G(x₀)=у₀, G(x₁)=у₁,..., G(x_n) = у_n. (4.4)

Условия интерполяции (4.4) приводят к системе из п+ 1 ли­нейных алгебраических уравнений с п+ 1 неизвестными — коэф­фициентами многочлена:

(4.5)

………………………………..

Решая эту систему относительно неизвестных мы и получим аналитическое выражение полинома (4.3). Система (4.5) всегда будет иметь единственное решение, поскольку ее опреде­литель, известный в алгебре как определитель Вандермонда ,

составленный из попарно различных значений элементов х_i (а раз­личными они в данной ситуации будут всегда), не равен нулю. Отсюда и вытекают существование и единственность решения си­стемы (4.5) и, следовательно, многочлена (4.3).

Совершенно очевидно, что интерполяционный многочлен меньшей степени, вообще говоря, не существует, а большей су­ществует, но не единственен. Поэтому интерполяция стандартно производится многочленами, степень которых на единицу мень­ше числа узлов.

Описанный прием можно использовать и для практического решения задачи построения интерполяционного многочлена: до­статочно составить и решить систему вида (4.5) и подставить най­денное решение в (4.3). Такой путь, невзирая на громоздкость вычислительных действий, которые надо произвести для реше­ния большой системы линейных уравнений (и, что особенно неприятно, при угрозе потери устойчивости механизма учета вычислительной ошибки, которая неизбежно возникает с возрас­танием числа производимых операций), в принципе при исполь­зовании современных вычислительных средств вполне может быть применен. Вместе с тем для многочленной интерполяции суще­ствуют более эффективные приемы, описанные ниже, которые позволяют обойти решение систем уравнений при построении интерполяционных многочленов.