Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:

— Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
— Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
— Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;

Начать пользоваться сервисом

Как продвинуть сайт на первые места?

Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.

Ускорение продвижения

Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.

Начать продвижение сайта

Курсовая работа. По специальным главам информатики

по специальным главам информатики

Методы решения дифференциальных уравнений

Автор курсовой работы 17.01.2012 Беляева И.В.

Обозначение работы КР-02069964-210700-02-12

Руководитель работы

Преподаватель 17.01.2012 Маняев И.В.

Оценка:

Саранск 2012

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н. П. ОГАРЁВА»

Факультет электронной техники

Кафедра: Сети Связи и Системы Коммутаций

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ (ПРОЕКТ)

Студент Беляев И.В.

1.Тема: Методы решения дифференциальных уравнений

2.Срок предоставления курсовой работы(проекта) к защите 17.01.2012

3.Содержание курсовой работы(проекта)

3.1.Введение

3.2.Практическая часть

3.3.Заключение

Руководитель курсовой работы (проекта) 17.01.2012 г., И.В. Маняев

подпись, дата, инициалы, фамилия

Задание принял к исполнению _______________________________

дата, подпись

Задание на курсовую работу

1. Решить дифференциальное уравнение dy/dx=2*(x^2+y), y(0)=1 на отрезке [0; 1] с шагом h=0.1 методом Эйлера

2. Найти интерполяционный полином 2 степени методом Лагранжа.

3. Провести оптимизацию полученного полинома на отрезке [0; 1] по методу Дихотомии.

4. Найти значения определенного интеграла методом Симпсона.

5. Построить графики решения дифференциального уравнения, интерполяционной функции.

6. Составить блок-схемы алгоритмов и программы для приведенных решений на языке программирования высокого уровня.

Содержание.

Введение ………………………………………………………..………..….5

1 Теоритическая часть …………………………….…………..………....7

1.1 Решение ОДУ: метод Эйлера…….....………………..….……………...7

1.2 Аппроксимция: метод Лагранжа………………………….........…..…...7

1.3Оптимизация: метод дихотомии………………..…..……....…………..8

1.4 Интегрирование: метод Симпсона………………………………….......8

2 Расчётная часть ……………………………..……………………….…....9

Заключение …………………..…….……..…………………………..…....19

Список литературы ………………………………….…………………......20

ВВЕДЕНИЕ

ЭВМ играют важную роль в жизни человека. С их помощью люди достигли удивительных успехов в науке и техники. Вычислительные машины способны совершать миллионы вычислений в секунду, которые человек не в силах сделать.

Важной особенностью ЭВМ является её программируемость. Это позволяет задавать вычислительной машине различные задачи для их решения с помощью языка программирования.

Язык программирования – формальная знаковая система, предназначенная для записи компьютерных программ. Функция языка программирования заключается в следующем: язык программирования предназначен для написания компьютерных программ, которые применяются для передачи компьютеру инструкций для выполнения того или иного вычислительного процесса и организации отдельными устройствами. Реализация языка программирования может происходить путём компилирования и интерпретирования. Различие заключается в том, что компилятор-это особая программа, которая компилирует т.е. преобразует язык в машинный код - двоичный код. Интерпретатор-это программа, которая выполняет исходный текст без предварительного перевода.

Языки программирования делятся на 2 вида: Язык высокого и низкого уровней программирования.

Язык высокого уровня программирования разработан с целью экономия времени и удобства для программиста, использующего этот язык. Он не зависит от кодов самой ЭВМ, поэтому программы, которые написаны на этом языке, требуют перевода в машинные коды. К языкам высокого уровня относят BASIC, PASCAL, C++ и т.д.

Язык низкого уровня программирования отражает внутренний код ЭВМ и предназначен для определенного типа ЭВМ. К языкам низкого уровня относят Java, Microsoft.NET и т.д.

Одним из известных языков высокого уровня программирования является PASCAL, который был назван в честь выдающегося французского математика, литератора, философа Блеза Паскаля. Именно Блезом Паскалем была создана первая в мире механическая машина, складывающая два числа. Сам же язык программирования был создан Никлаусом Виртом в 1968-1969 гг. Позже, в 1970 году Вирт опубликовал язык как небольшой и эффективный язык, способствовавший хорошему стилю программирования, использующий структурное программирование и структурированные данные. PASCAL широко применялся в промышленности и в учебных заведениях.

Языки высокого уровня программирования актуальны в научных, общественных, технических сферах. Именно язык высокого уровня-PASCAL используется в данной работе для решения поставленных задач.

Цель исследования – численные решения с помощью ЭВМ

Задачи исследования:

1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера.

2. Найти интерполяционный полином 2 степени методом Лагранжа.

3. Провести оптимизацию полученного полинома методом Дихотомии.

4. Найти значения определенного интеграла методом Симпсона.

5. Составить блок-схемы алгоритмов и программы для приведенных решений на языке высокого уровня программирования.

Объект исследования – информатика специальные главы.

Предмет исследования - дифференциальное уравнение.

1.Методы решение дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение-уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке.

Наиболее простым численным методом решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера, который был описан в 1768 году в работе «Интегральные исчисления». Из-за своей простоты метод Эйлера находит своё применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

y_i=y_i-1+h*f(x_i-1; y_i-1)

где h-шаг.

1.1 Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами. Интерполяционная формула Лагранжа обеспечивает построение алгебраического многочлена P_n (x) для произвольно заданных узлов интерполирования. Для n + 1 различных значений аргумента x ₀, x ₁,..., x_n и соответствующих значений функции f (x ₀) = y ₀, f (x ₁) = y ₁,..., f (x_n) = y_n

1.2 Оптимизация полинома методом Дихотомии.

Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у неё есть корень, как минимум один. Именно на базе этой теоремы и построено численное нахождение приближенного значения корня функции. Обобщенно этот метод называется дихотомией т.е. делением отрезка на 2 части. Алгоритм выглядит так:

•Задать начальный интервал.

• Убедиться, что на концах функция имеет знак.

• Повторять.▫

▫ Выбрать внутри интервала точку X.

▫ Сравнивать знак функции в точке Х со знаком функции в одном из концов.

▫ Если совпадает, то переместить этот конец интервала в точку Х.

▫ Иначе переместить в точку Х другой конец интервала.

Повторять до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность.

1.3 Интегрирование методом Симпсона.

Метод Симпсона, названый в честь британского математика Томаса Симпсона, относится к приемам численного интегрирования, суть которого заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a, b] интерполяционным полиномом второй степени.

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [ a, b ]

2.Практическая часть.

uses crt;

var xi, y: real; klava: integer;

const h=0.1; //шаг

a=0; //начальное значение отрезка

b=1; //конечное значение отрезка

n=2; //степень полинома

//1

function fak(x, y: real): real;

begin

fak: =2*(sqr(x)+y); //исходное диф. уравнение

end;

function ailer(xi: real): real;

var x, y, r, pt: array[1..20] of real; i, j, k, m: integer;

begin

writeln ('Таблица значений: ');

x[1]: =a;

y[1]: =1;

k: =1;

repeat

writeln('x', k, '=', x[k]: 0: 3, ' y', k, '=', y[k]: 0: 3);

inc(k);

y[k]: =y[k-1]+h*fak(x[k-1], y[k-1]);

x[k]: =x[k-1]+h;

until not (x[k]< b);

end;

//2

function lagrang(xi: real): real;

var x, y, r, pt: array[1..20] of real; ct, u: real; i, j, k, m: integer;

begin

x[1]: =a;

y[1]: =1;

k: =1;

repeat

inc(k);

y[k]: =y[k-1]+h*fak(x[k-1], y[k-1]);

x[k]: =x[k-1]+h;

until not (x[k]< b);

for i: =1 to n+1 do

r[i]: =0;

for i: =1 to n+1 do

begin

ct: =1; pt[1]: =1; k: =1;

for j: =1 to n+1 do

if i< > j then

begin

ct: =ct*(x[i]-x[j]);

pt[k+1]: =1;

if k> 1 then

for m: =k downto 2 do

pt[m]: =pt[m-1]-pt[m]*x[j];

pt[1]: =-pt[1]*x[j];

k: =k+1;

end;

u: =y[i]/ct;

for m: =1 to n+1 do

r[m]: =r[m]+pt[m]*u;

end;

writeln(' Интерполяционный полином Лагранжа ', n, ' -ой степени: ');

writeln('Q(x)=', r[1]: 0: 2, '+', r[2]: 0: 2, 'x+', r[3]: 0: 1, 'x^2');

end;

//3

function q(x: real): real;

begin

q: =1+1.79*x+2.1*sqr(x); //полученный полином Лагранжа 2-й степени

end;

function dixotomiya(xi: real): real;

const eps=0.1; // точность метода дихотомии

var

x, a, b, t, d, c, g: real;

k: Integer;

begin

writeln ('Оптимизация полинома');

a: =0; b: =1;

t: =0; d: =1;

repeat

c: = (a + b) / 2;

if (q(a) * q(c)) < 0 then b: = c

else a: = c;

inc(k)

until (b - a) < = eps;

x: = (a + b) / 2;

writeLn('корень(максимум) x=', x: 5: 5);

repeat

g: = (t + d) / 2;

if (q(a) * q(b)) < 0 then d: = g

else d: = g;

inc(k)

until (d - t) < = eps;

x: = (t +d)/2;

writeLn('корень (минимум) x=', x: 5: 5);

readln;

end;

//4

function integral(xi: real): real;

var h, x: real;

n, i: integer;

integ: real;

begin

write('Введите количество разбиений интервала(четное число) n='); readln(n);

if (n mod 2)> 0 then { mod-остаток от деления n на 2 с остатком}

begin

n: =n+1;

writeln('число n было нечетно, она заменено на n=', n);

end;

h: =(b-a)/n;

integ: =q(a)+q(b)+4*q(a+h);

for i: =1 to (n div 2)-1 do {частное деление n на 2 с остатком}

begin

x: =a+2*h*i;

integ: =integ+2*q(x)+4*q(x+h);

end;

integ: =h*integ/3;

writeln('Интеграл равен ', integ: 3: 3);

end;

begin

writeln ('Введите номер задания: ');

writeln('1)Решить диф.уравнения dy/dx=2*(x^2+y), y(0)=1 на отрезке [0; 1] методом Эйлера; ');

writeln('2)Найти интерполяционный полином Лагранжа 2-ой степени; ');

writeln('3)Провести оптимизацию полученного полинома методом дихотомии; ');

writeln('4)Найти определенный интеграл методом Симпсона.');

readln(klava);

case klava of

1: writeln(ailer(xi));

2: writeln(lagrang(xi));

3: writeln(dixotomiya(xi));

4: writeln(integral(xi));

end; end.

Рисунок 1-полученные значения

2.Составим Блок-схему алгоритма программы

Рисунок 2-Блок-схема алгоритма

Заключение

Освоение методов решения дифференциальных уравнений, в ходе выполнения курсовой работы, позволяет проводить различные вычислительные операции, которые упрощают вычисления.

Метод Эйлера позволяет вычислить дифференциальное уравнение за короткое время. Легок в работе и освоении.

Интерполяция методом Лагранжа проста в освоении, но сложна в вычислении.

Метод дихотомии очень прост в освоение, но из-за повышении точность повышается и число итераций.

Формула Симпсона проста в использовании, и при том условии, что четвертая производная не слишком велика, дает высокую точность.

Данные методы были реализованы на языке высокого уровня программирования PASCAL и показали свою эффективность в вычислениях.

Список литературы:

1. Абрамов В.Г., Трифонова Г.Н. Введение в язык Паскаль. – М.: Наука, 1988.

2. Задачи по программированию / С. А. Абрамов, Г. Г. Гнездилова, Е. Н. Капустина, М. И. Селюн. – М.: Наука, 1988.

3. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е. К. Информатика: учеб. Пособие для студ. пед. Вузов / под ред. Е.К. Хеннера. – М.: Изд. Центр «Академия», 1999.

4. Касаткин В. Н. Информация. Алгоритмы. ЭВМ – М.: Просвещение, 1991.

5. https:// ru.wikipedia.org