Интегральный признак Коши сходимости числовых рядов

Исследовать сходимость ряда .
Рассмотрим вспомогательный ряд и применим к нему интегральный признак Коши:

Так как интеграл сходится, то, согласно интегральному признаку Коши, будет сходиться и ряд . Так как , то, согласно признаку сравнения, будет сходиться и ряд .

44. Степенной ряд, определение, сходимость, радиус и интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Степенной ряд

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,

Где - коэффициенты степенного ряда, - центр ряда.

Теорема 1: Теорема Абеля.

Пусть ряд сходится в точке. Тогда он сходится при любом, удовлетворяющем неравенству, причём на любом отрезке внутри интервала сходимость равномерная.

Следствие из теоремы Абеля.

Если ряд расходится в точке, то он расходится и при любых.