Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Формулы Бейеса
Рассмотрим следующую ситуацию. Имеются две внешне неразличимые урны. В урне № 1 находятся (миллион) белых шаров и черный шар; в урне № 2, наоборот, находятся белый шар и черных. Из схемы равновозможных исходов следует, что вероятность выбрать наугад урну № 1 (гипотеза ), как и вероятность выбрать наугад урну № 2 (гипотеза ), обе равны . Эти вероятности называют априорными (латинское «a priori» означает «до опыта»). Предположим теперь, что из выбранной наугад урны также наугад извлекли один шар, и он оказался белым. Понятно, что, скорее всего, то есть с вероятностью, близкой к единице, это шар из урны № 1 (это апостериорная вероятность гипотезы ; латинское «a posteriori» означает «после опыта»). Наоборот, «почти невозможно», то есть с апостериорной вероятностью, близкой к нулю, это шар из урны № 2. Таким образом, информация о наступлении некоторого случайного события изменяет наши представления о вероятностях гипотез. Формулы Бейеса дают точное количественное выражение для апостериорных вероятностей гипотез. Теорема. Пусть для событий («гипотез») и события выполняются три условия: 1. Гипотезы образуют полную группу. 2. Гипотезы имеют ненулевые вероятности: . 3. . Тогда при справедливы формулы:
или в краткой записи:
. (20) Замечания. 1. Формулы (20) носят название формул Бейеса. 2. Второе условие теоремы обеспечивает существование условных вероятностей , а третье — существование условных вероятностей (см. п. 3.6). Доказательство. По теореме умножения имеем (см. формулу (13) в п. 3.7): , откуда . Заменяя в знаменателе число его выражением по формуле полной вероятности (19), приходим к (20). ▄ Решение задач с применением формул Бейеса рекомендуется проводить по следующему плану: 1. Введение гипотез . 2. Проверка полноты и попарной несовместности гипотез. 3. Вычисление вероятностей гипотез (например, по схеме равновозможных исходов). 4. Вычисление условных вероятностей . 5. Применение формулы (20). Пример. Испытание: В двух урнах первого типа находится по белых и черных шара, а в пяти урнах второго типа – соответственно по белых и черному. Наугад выбирается урна, и из нее извлекается шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что он извлечен из урны первого типа. Решение. Пусть событие заключается в том, что извлеченный шар оказался белым. Введем гипотезы: – выбрана урна первого типа; – выбрана урна второго типа. По схеме равновозможных исходов , . Далее, , . По формуле (20) получаем: .
|