Авторегрессионное преобразование

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Важной проблемой при оценивании регрессии является автокорреляция остатков е, которая говорит об отсутствии первоначально предполагавшейся их взаимной независимости. Автокорреляция остатков первого порядка, выявляемая с помощью статистики Дарбина-Уотсона, говорит о неверной спецификации уравнения либо о наличии неучтенных факторов. Естественно, для её устранения нужно попытаться выбрать более адекватную формулу зависимости, отыскать и включить важные неучтенные факторы или уточнить период оценивания регрессии. В некоторых случаях, однако, это не даст результата, а отклонения еi просто связаны авторегрессионной зависимостью. Если это авторегрессия первого порядка, то её формула имеет вид еi=rei-1 + ui(r - коэффициент авторегрессии, |r|< 1), и мы предполагаем, что остатки ui в этой формуле обладают нужными свойствами, в частности - взаимно независимы. Оценив r, введем новые переменные у'i=уi -ryi-1; x'i=xi -rxi-1; ^,.(это преобразование называется авторегрессионным (AR), или преобразованием Бокса-Дженкинса). Пусть мы оцениваем первоначально формулу линейной регрессии уi= а + bxi + еi. Тогда

Если величины ui.действительно обладают нужными свойствами, то в линейной регрессионной зависимости у'i= а1 + bx'i + ui автокорреляции остатков ui уже не будет, и статистика DW окажется близкой к двум. Коэффициент b этой формулы принимается для исходной формулы у = а+bх+е непосредственно, а коэффициент а, рассчитывается по формуле

Оценки коэффициентов а и b нужно сравнить с первоначальными оценками, полученными для расчета отклонений еi Если эти оценки совпадают, то процесс заканчивается; если нет - то при новых значениях а и b вновь рассчитываются отклонения е до тех пор, пока оценки а и b на двух соседних итерациях не совпадут с требуемой точностью.

В случае, когда остатки «также автокоррелированы, авторегрессионное преобразование может быть применено ещё раз. Это означает использование авторегрессионного преобразования более высокого порядка, которое заключается в оценке коэффициентов авторегрессии соответствующего порядка для отклонений е. и использовании их для построения новых переменных. Такое преобразование вместо AR(1) называется AR(s) - если используется авторегрессия порядка s.

О целесообразности применения авторегрессионного преобразования говорит некоррелированность полученных отклонений ui,. Однако даже в этом случае истинной причиной первоначальной автокорреляции остатков может быть нелинейность формулы или неучтенный фактор. Мы же, вместо поиска этой причины, ликвидируем её бросающееся в глаза следствие. В этом - основной недостаток метода AR и содержательное ограничение для его применения.

Кроме авторегрессионного преобразования, для устранения автокорреляции остатков и уточнения формулы регрессионной зависимости может использоваться метод скользящих средних (MovingAve-rages, или МА). В этом случае считается, что отклонения от линии регрессии еi описываются как скользящие средние случайных нормально распределенных ошибок еi предполагается, что

Это формула для преобразования МА q-го порядка, или MA(q); МА(1), например, имеет вид еi = єi + q1єi-1. Параметры qi, как и в случае авторегрессионного преобразования, могут оцениваться итерационными методами.

Во многих случаях сочетание методов AR и МА позволяет решить проблему автокорреляции остатков даже при небольших s и q. Еще раз повторим, что адекватным такое решение проблемы является лишь в том случае, если автокорреляция остатков имеет собственные внутренние причины, а не вызвана наличием неучтенных (одного или нескольких) факторов.

Методы AR и МА могут использоваться в сочетании с переходом от объемных величин в модели к приростным, для которых статистическая взаимосвязь может быть более точной и явной. Модель, сочетающая все эти подходы, называется моделью/1/? /Л/А (Aiitoreg-- ressive Integrated Moving Averages). В общем виде ее формулу можно записать так:

где {rр^} и {q9^} - неизвестные параметры, и е - независимые, одинаково нормально распределенные СВ с нулевым средним. Величины у* представляют собой конечные разности порядка d величин у, а модель обозначается как АRIМА(р, d, q).