Виды производных функций и их свойства

Производственные функции в широком смысле охватывают моделирование зависимостей, существующих между такими показателями производственной деятельности, как объем выпускаемой продукции, капитальные затраты, фондоотдача, производительность труда и т.д.

В более узком смысле под производственной функцией понимается зависимость выпуска продукции от затрат различных производственных ресурсов. В общем виде функция может быть записана в виде:

(3.1)

где - выпуск продукции;

- факторы, определяющие величину выпуска продукции (затраты труда, материалов и т.д.). Зависимость между затратами различных видов ресурсов и объемом выпуска продукции должна быть выражена уравнением множественной регрессии.

При разработке ЭММ нередко исходят из предположения о линейной зависимости между затратами ресурсов и выпуском продукции. Однако предположение о линейном характере зависимости затрат и выпуска продукции является значительно упрощенным. Если по отношению к затратам материалов и сырья это предположение может быть принято, то по отношении машин это предположение не всегда может быть принято.

Построение моделей оптимального планирования, приближающихся к реальной экономической действительности требуют углубления и уточнения связей между затратами ресурсов и выпуском продукции.

Наиболее часто в качестве нелинейной функции используется уравнение:

(3.2)

Этому уравнению соответствует линейно-логарифмическая функция:

(3.3)

Для каждого фактора можно определить абсолютную скорость, с которой в пределе возрастает выпуск продукции с ростом затрат данного фактора. Эта скорость определяется как частная производная выпуска продукции по затратам данного вида ресурсов:

(3.4)

Абсолютная скорость зависит от величины всех компонентов уравнения. Отношения частных производных для двух каких-либо факторов служат своеобразными нормами заменяемости этих ресурсов с точки зрения производства данной продукции.

Наряду с абсолютной скоростью большой интерес представляет выпуск продукции при увеличении затрат ресурсов данного вида на 1 %.

Для получения относительной скорости нужно величину абсолютной скорости умножить на отношение затрат ресурсов к выпуску продукции.

Так, для первого фактора относительная скорость составляет:

(3.5).

Относительная скорость изменения объема выпуска продукции от изменения затрат на 1 % называется эластичностью выпуска по затратам и обозначается символом Е. Для любого i фактора выполняется условие:

. (3.6)

Таким образом, для уравнения типа (3.2) эластичность выпуска продукции для научного фактора является величиной постоянной и равна соответствующему коэффициенту уравнения регрессии. При любом объеме затрат и выпуска увеличение затрат i-го вида ресурсов на 1 % ведет к увеличению выпуска продукции на %.

Одной из первых практических работ в области изучения производственных функций было исследование Ч.Кобба и П.Дугласа по данным обрабатывающих отраслей промышленности США за 1899-1922 г.

В этих исследованиях была принята функция вида:

(3.7)

где Y - объем выпуска продукции;

X₁ - затраты труда;

X₂ - объем производственных фондов.

В результате исследователи пришли к выводу, что а₁+а₂=1 т.е. имеет место неизменный эффект масштаба.

Функция валового внутреннего продукта (ВВП) в зависимости от стоимости основных фондов и числа занятых за 1960-1994 годы имеет вид:

Y=0.931K^0.54 L^0.59 (3.8)

Где Y– ВВП, млрд. руб.

К - стоимость основных производственных фондов, млрд. руб.

L - число занятых, млн. чел.

По данным экономики США за 1980-1995 годы производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Y=2.251K^0.4 L^0.8 (3.9)

Производственная функция Y= F(K, L) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:

1) F(0, L) = F(K, 0) = 0 (3.11)

- при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;

2) (3.12)

- с ростом ресурсов выпуск растет;

3) (3.13)

- с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;

4) f(+¥, L) = F(K, +¥) = +¥ (3.14)

- при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет.

Мультипликативная ПФ задается выражением

a₁> 0 a₂> 0 (3.15)

где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а₁, a₂ -коэффициенты эластичности по труду и фондам.

Если а₁ > a₂ имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае - фондосберегающий (экстенсивный) рост.

Линией уровня на плоскости К, L, илиизоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L) =Х₀=const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид:

(3.16)

или (3.17)

т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат.

Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X₀, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов.

Поскольку на изокванте F(K, L) = Х₀ = const, то

(3.18)

В этом соотношении , поэтому dK и dL имеют разные знаки: если dL< 0 что означает сокращение объема труда, то dK> 0, т.е выбывший в объеме труд замещается фондами в объеме dK.

Наряду с количественным увеличением объема ресурсов важнейшим фактором роста производства служит научно-технический прогресс, проявляющийся в совершенствовании техники и технологии, повышении квалификации работающих, улучшении организации производства. Технический прогресс обычно отражают в производственных функциях следующего вида:

(3.19)

где λ - константа, отражающая темп технического прогресса;

t - временной фактор.

e^t представляет собой выражение временной тенденции развития производства, связанной с техническим прогрессом, прежде всего совершенствование планирования, управления и организации производства.

С учетом ограниченности и резкого повышения стоимости природных ресурсов целесообразно строить производственную функцию следующего вида:

(3.20)

где - стоимость используемых природных ресурсов.

При анализе производственных функций возникает вопрос о целесообразности расширения масштабов производства. В этом случае анализируется величина

(3.21)

Возможны три случая:

1) Если , то увеличение ресурсов в k раз приводит к увеличению объема производства также в k раз;

2) Если , то можно говорить о положительном эффекте расширения масштабов производства, т.к. увеличение ресурсов в k раз приводит к росту объемов производства более чем в k раз;

3) Если , то имеем отрицательный эффекта расширения масштабов производства.

На основе производственных могут быть построены модели зависимости спроса от доходов:

(3.22)

где - спрос;

- величина доходов населения.

Коэффициент эластичности a₁ показывает, насколько увеличится спрос при росте доходов на 1%. Коэффициент эластичности может быть и отрицательным (когда с ростом доходов населения может снизиться потребление хлеба, картофеля и т.д.).