ВПЦ “Київський університет”, 2006 1 страница

О.М. Станжицький Є.Ю. Таран Л.Д. Гординський

ОСНОВИ

МАТЕМАТИЧНОГОМОДЕЛЮВАННЯ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

О.М. Станжицький Є.Ю. Таран Л.Д. Гординський

ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГОМОДЕЛЮВАННЯ

Навчальний посібник

Рецензенти:

чл.-кор. НАН України, д-р фіз.-мат. наук, проф. М.О. Перестюк,

д-р фіз.-мат. наук, проф. В.В. Мелешко

Рекомендовано до друку вченою радою механіко-математичного факультету
(протокол № 1 від 12 вересня 2005 року)

Станжицький О.М., Таран Є.Ю., Гординський Л.Д.

Викладено теоретичні основи та наведено основні категорії математичного моделювання, сформульовано його основні принципи. Велику увагу приділено теорії подібності. Розглянуто деякі приклади математичних моделей, побудова й дослідження яких ілюструє й доповнює теоретичні положення.

Для студентів механіко-математичного факультету.

О.М. Станжицький, Є.Ю. Таран, Л.Д. Гординський, 2006

© Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

ВПЦ “Київський університет”, 2006

ЧАСТИНА 1
ОСНОВНІ ПРИНЦИПИ ПОБУДОВИ
МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ

1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ МОДЕЛЮВАННЯ

1.1. ВСТУП

Моделювання як метод дослідження відоме дуже давно – ще з часів Леонардо да Вінчі та Галілея. З розвитком виробничих сил суспільства воно знаходить усе нові й нові застосування. У сучасному світі моделювання стало складовою частиною не тільки експериментальних досліджень і конкретного технічного проектування – інженерної справи; завдяки моделюванню створюються абстрактні теорії, воно використовується в усіх галузях науки.

Математичне моделювання є найвищою формою моделювання. Воно сприяло розвитку науки й техніки індустріального суспільства, а з появою електронно-обчислювальних засобів обробки інформації привело до бурхливого розвитку сучасного – постіндустріального – суспільства.

Термін модель походить від латинських слів modus, modulus, які означають міра, образ, спосіб. У багатьох мовах світу вслід за латинською з’явились відповідні слова: modello – в італійській, modelo – в іспанській, modellе – у французькій, model – в англійській, Modell – у німецькій, модель – у російській та українській.

Початковий розвиток моделі отримали в будівельному мистецтві. Моделями стали називати речі, виготовлені на основі вимірів, які відтворювали існуючі об’єкти або були зразками для нових – ще не існуючих.

Надалі термін модель поступово набуває іншого змісту. Так, моделлю почали називати уявну або матеріальну структуру, що зображує у зручній формі стан деякої системи, процеси в якій мають бути вивчені. Разом з тим на певних етапах розвитку суспільства моделями стали вважати зображення систем, явищ або процесів, які вивчаються за допомогою систем, явищ або процесів іншої природи, іноді навіть уявних.

Найпростішими прикладами є добре відома модель ефіру, яка використовувалася для пояснення поширення електромагнітних коливань у просторі, та модель електричного струму, який моделювався рідиною, що тече провідником. Поняття моделі тут значною мірою збігається з поняттям аналогії, причому навіть з’явилась тенденція вважати аналогію загальним випадком моделі, що не зовсім вірно, оскільки аналогія відображає умовні, часто поверхові співвідношення.

1.2. ОСНОВНІ КАТЕГОРІЇ ТЕОРІЇ МОДЕЛЮВАННЯ

Моделювання. Метод моделюванняє методом дослідження властивостей певного об’єкта (оригіналу) за допомогою вивчення властивостей іншого об’єкта (моделі), який є зручнішим для дослідження і знаходиться у певній відповідності до першого об’єкта (оригіналу).

Моделювання – це побудова (або вибір) і вивчення такого об’єкта будь-якої природи (моделі), що здатний замінити собою досліджуваний об’єкт (оригінал) і вивчення якого дає нову інформацію про досліджуваний об’єкт.

Оригінал. У теорії моделювання оригінал – це об’єкт, певні властивості (аспекти) якого підлягають вивченню методом моделювання.

У загальному випадку поняття оригіналу має широку інтерпретацію. Воно охоплює об’єкти (системи, підсистеми, елементи), як реально існуючі, так і такі, що проектуються, а також явища, режими і процеси, які в них відбуваються.

Означимо коротко терміни, які зустрічаються у визначенні оригіналу. Система – це сукупність компонентів, яка розглядається як єдине ціле й організована для розв’язання певних функціональних задач так, що два будь-які її компоненти взаємозалежні завдяки деякому системостворюючому відношенню.

У системі можуть бути виділені підсистеми – відносно самостійні частини системи, які пов’язані функціонально між собою, а також елементи – компоненти системи, які приймаються за відповідної постановки задачі як неподільні.

Явище – це сукупність процесів, які є супутніми функціонуванню або поведінці системи й виявляються у вигляді змін стану або режимів цієї системи.

Режим – це стан системи, який визначається багатьма різними процесами й залежить як від власних параметрів системи, так і від параметрів збурюючих впливів.

Існують стаціонарні (усталені) і нестаціонарні (перехідні) режими.

Стаціонарний режим – це такий стан системи, за якого параметри режиму не змінюються в часі.

У протилежному випадку режим є нестаціонарним (перехідним).

Процес – це закономірна послідовна зміна деякої групи параметрів режиму, які називаються параметрами процесу.

Система також характеризується своїми параметрами. Наприклад, при дослідженні механічних явищ параметрами процесів є сили, швидкості, прискорення, а параметрами системи – маси тіл, коефіцієнти тертя, в’язкості рідин тощо.

Системи, у яких параметри є сталими на всьому інтервалі часу, протягом якого відбувається процес, що вивчається, називаються лінійними.

Системи, у яких хоча б один параметр змінюється як функція іншого або кількох інших параметрів, називаються нелінійними.

Модель. Це допоміжний об’єкт, який знаходиться у певній відповідності до об’єкта, що вивчається (оригіналу), і є більш зручним для дослідження оригіналу.

Відображаючи окремі особливості поведінки об’єкта-оригіналу, модель має деякі риси, ідентичні з оригіналом, і використовується для одержання такої інформації про оригінал, яку важко або неможливо одержати шляхом безпосереднього дослідження оригіналу.

Інтуїтивні уявлення про модель найчастіше асоціюються з технічними засобами, які застосовуються для створення відповідного „еквівалента” об’єкта дослідження, адекватного йому в тому чи іншому сенсі, але практично більш зручного для розв’язання поставлених задач.

Як приклад розглянемо моделі літака. Це матеріальні моделі, оскільки вони є фізичними, матеріальними об’єктами. Модель літака може бути натурною, тобто точною копією літака, яка від оригінала відрізняється тільки розмірами. Така модель, як правило, не може літати. Натурні моделі використовують, наприклад, як експонати на виставках, замість літака-оригіналу.

Інший тип моделі літака – це його функціональна модель (напр., так звана схематична). Вона не відображує зовнішності жодного літака. Такі моделі будують юні авіамоделісти у шкільних гуртках. Ці моделі використовуються для відтворення найважливішої функції літака – його здатності літати.

Проте поняття моделі принципово і суттєво ширше: функції моделі може виконувати не тільки спеціально створений експериментальний пристрій, але й явище, яке спостерігається, і символічне (знакове) описання оригіналу (текстове описання, математичне рівняння, креслення, схема тощо), і уявний образ. Тому у загальному випадку модель – це явище, технічний засіб, знакове утворення або інший умовний образ, що знаходиться у певній відповідності (схожості, подібності) до об’єкта-оригіналу, який вивчається. Модель може замінити оригінал у процесі дослідження, надаючи про нього необхідну інформацію.

Як приклад можна назвати математичну модель гармонійних коливань. З фізики відомо, що диференціальне рівняння вільного коливання пружинного маятника має вигляд

, (1.1.1)

де – відхилення центра мас пружинного маятника від положення рівноваги в момент часу ; – маса маятника; – коефіцієнт пружності пружини; – сила, яка діє на маятник з боку пружини. Якщо позначимо

,

то рівняння (1.1.1) можна переписати у загальній формі рівняння вільних коливань

(1.1.2)

Розглянемо вільні коливання в електричному контурі. Якщо позначити ємність конденсатора , його заряд у момент часу – , а індуктивність котушки – , то рівняння коливань в електричному контурі набуде вигляду

(1.1.3)

Введемо позначення

і отримаємо знову рівняння (1.1.2).

Отже, рівняння (1.1.2), яке описує різні за природою коливальні процеси, є математичною моделлю гармонійних коливань. Ця модель, на відміну від попереднього прикладу моделей літака, є уявною. Оскільки при її побудові отримується звичайне диференціальне рівняння, то вона є математичною моделлю. Повна класифікація моделей і способи їх побудови будуть наведені далі.

Подібність. Наведене визначення моделі дозволяє сформулювати вимоги, які мають задовольняти методи моделювання.

1. Методи моделювання мають наділяти модель здатністю відображення реально існуючого об’єкта або об’єкта, що проектується.

2. Методи моделювання мають базуватися на певних правилах, які б дозволяли встановлювати взаємооднозначну відповідність між моделлю й оригіналом.

3. Методи моделювання мають забезпечити можливість створення моделі, яка, з одного боку, була б достатньо простою, а з іншого – могла б з необхідною повнотою й достовірністю відобразити ту частину властивостей оригіналу, яка є суттєвою саме в даному дослідженні і при даній постановці задачі.

Забезпечення третьої вимоги залежить великою мірою від майстерності й досвіду дослідника, а виконання першої і другої – забезпечується теорією подібності.

Поняття подібності було запозичено з геометрії. Геометрична подібність у найпростішому випадку подібності многокутників полягає в тому, що многокутники з однаковою кількістю сторін подібні, якщо в них відповідні кути рівні, а відповідні сторони – пропорційні.

Тобто, якщо

– сторони й кути -кутника ,

– сторони й кути -кутника , то мають виконуватися такі співвідношення:

(1.1.4)

Подібність, таким чином, означає існування певних масштабних співвідношень типу (1.1.4) для параметрів відповідних елементів об’єктів, які зіставляються – многокутників. Ці співвідношення визначають правила переходу від параметрів одного з об’єктів до відповідних параметрів іншого. Масштабні коефіцієнти (масштаби) і , які характеризують пропорційність відповідних параметрів, у теорії подібності називають також коефіцієнтами подібності. У співвідношеннях (1.1.4) – це і . Умови вигляду (1.1.4) можна сформулювати інакше, якщо ввести систему прямокутних координат : при геометричній подібності всі координати першого многокутника пропорційні відповідним координатам другого многокутника

, (1.1.5)

де і – координати відповідних точок, які знаходяться на відрізках, що складають контури відповідного ( чи ) многокутника.

Для геометричної подібності у тривимірному просторі до співвідношень (1.1.5) додається

, (1.1.6)

і при цьому .

Подальшим розвитком і узагальненням поняття геометричної подібності є поняття афінної подібності, при якій допускається нерівність масштабів по окремих координатах . У цьому випадку геометричні фігури або тіла деформуються: круг перетворюється на еліпс, паралелепіпед з нерівними ребрами – на куб і т. д. Для відповідних точок і при афінній подібності замість (1.1.5) і (1.1.6) будуть справедливими співвідношення

і, наприклад, .

Поняття подібності фізичних процесів (об’єктів) є розвитком поняття афінної подібності.

Нехай фізичний процес характеризується певною функціональною залежністю

між сукупністю параметрів , що характеризують процес і систему, у якій він відбувається.

Розглянемо цю функціональну залежність у -вимірному узагальненому координатному просторі , у якому параметри вимірюються у відповідних координатах .

Нехай у цій же системі відбувається ще один фізичний процес , який описується функціональною залежністю . Він характеризується параметрами , відповідними до параметрів , які можуть відрізнятися від лише своїми значеннями. Якщо при цьому всі відповідні параметри пропорційні, тобто

, (1.1.7)

то процеси і є подібними.

У зв’язку з тим, що певні параметри , як і параметри , можуть бути взаємозалежними, не всі масштабні коефіцієнти подібних фізичних процесів можуть набувати незалежних значень. Це дає можливість упровадження деяких узагальнених характеристик подібних процесів – критеріїв подібності, які є функціями груп залежних і незалежних параметрів.

Масштабні коефіцієнти у загальному випадку можуть бути чисельно різними для певних груп подібних процесів, що зіставляються. А критерії подібності набувають однакових значень для всіх подібних процесів у відповідних точках узагальненого координатного простору .

Пропорційність параметрів (1.1.7) є частинним випадком подібності фізичних процесів. У загальному ж випадку під подібністю розуміють таку взаємооднозначну відповідність між процесами (об’єктами), що зіставляються, за якої правила переходу від параметрів, що характеризують один із процесів (об’єктів), до параметрів, які характеризують інший процес (об’єкт), відомі, а математичне описання процесів (об’єктів), якщо воно може бути отримане, допускає їх перетворення до однакового вигляду.

1.3. КЛАСИФІКАЦІЯ ВИДІВ ПОДІБНОСТІ
ТА МОДЕЛЮВАННЯ

Абсолютна подібність. При встановленні такої подібності можуть порівнюватися між собою процеси в різних системах. Такі процеси є абсолютно подібними, якщо подібними є і процеси, і системи, у яких вони відбуваються. При цьому пропорційність (1.1.7) відповідних параметрів систем і процесів у них можлива при тощо.

Таким чином, оригінал і його модель будуть абсолютно подібними, якщо подібними є системи, з яких вони складаються, а також процеси, які в них відбуваються.

Якщо і оригінал, і модель є матеріальними об’єктами, то вони за абсолютної подібності мають бути структурно і фізично ідентичними; різними в них можуть бути лише значення параметрів, які характеризують елементи структури оригіналу й моделі.

Абсолютна подібність на практиці значною мірою є абстрактним поняттям. Повною мірою вона реалізується тільки при математичному моделюванні процесів. У цьому разі оригінал і модель описуються однаковими функціональними залежностями чи рівняннями, відповідні змінні в яких є пропорційними.

Практична подібність. При застосуванні теорії подібності в технічних задачах виникає необхідність введення практичної подібності. Розрізняють повну, неповну й наближену практичні подібності.

Повна практична подібність (або повна подібність) – це подібність протікання в часі й у просторі тільки тих процесів, які є суттєвими для даного дослідження і з достатньою повнотою характеризують явище, що вивчається, згідно з конкретною постановкою задачі дослідження.

Відповідно, якщо при моделюванні забезпечена повна практична подібність, то має місце повне моделювання.

Неповна практична подібність (або неповна подібність) – це подібність протікання процесів або тільки в часі, або тільки у просторі.

Цій подібності відповідає неповне моделювання.

Наближена практична подібність (або наближена подібність) характеризується існуванням спрощувальних припущень, які приводять до певної відмінності процесів, що розглядаються як подібні. Ця відмінність вважається допустимою на основі попередніх оцінок, які отримуються при додаткових дослідженнях. Цій подібності відповідає наближене моделювання. Воно, як і наближена подібність, також може бути як повним, так і неповним. Класифікацію типів моделювання наведено на рис. 1.1.1.

Рис. 1.1.1

Далі всі вказані типи моделювання диференціюються на уявні (1) і матеріальні (2) залежно від способу їх матеріальної реалізації.

Модель називаютьматеріальною, якщо вона відтворює основні фізичні, динамічні, геометричні й функціональні параметри об’єкта, що досліджується.

Частинним випадком матеріального моделювання є натурне моделювання. При такому моделюванні, залежно від його мети, модель у найпростішому випадку може тільки зовнішньо копіювати об’єкт, тобто бути лише його репрезентативною моделлю. Однак натурна модель може бути настільки складною й максимально наближеною до оригіналу, що за спеціально підібраних умов можна отримати корисну для дослідника інформацію як результат натурного експерименту з моделлю. Надалі виникають принаймні дві проблеми: як обробити отриману інформацію найбільш раціонально, щоб одержати максимальну кількість достовірних даних, і як потім відповідно інтерпретувати отримані результати про матеріальну модель у термінах об’єкта, що вивчається.

Другим частинним випадком матеріального моделювання є фізичне моделювання. У цьому випадку об’єкт, що моделюється, і модель мають одну й ту саму фізичну природу, між ними досягається фізична подібність.

Клас так званих уявних (ідеальних) моделей створюється як результат побудови ідеальних (уявних) аналогій.

Розрізняють два підкласи моделей: інтуїтивні й знакові. Інтуїтивні моделічасто виникають у тих сферах знань, які знаходяться ще на попередньому, описовому етапі розвитку дослідження. При такому моделюванні, як правило, не використовуються чітко фіксовані знакові системи. Деякі поняття свідомо подаються дещо розмитими, багатозначними. Така модель може описуватися словесно з використанням гіпотез.

Знакова модель є формалізованим описанням об’єкта з використанням більш-менш економних форм (мова, схема, креслення, формула тощо). До знакових моделей належать, наприклад, географічні карти, хімічні моделі, зображені у вигляді умовних знаків, а також різні топологічні й графові побудови.

Надалі нас в основному буде цікавити важливий частинний випадок знакового моделювання – математичне моделювання. Математичне моделювання ґрунтується на математичній подібності, за якої виявляється відповідність схожих параметрів процесів різної фізичної природи, що порівнюються між собою.

Знакову модель з використанням математики можна описати різними способами: аналітично (у вигляді заданих функціональних співвідношень, диференціальних, інтегральних, різницевих рівнянь тощо), алгоритмічно, графічно і т. п. Математичними уявними моделями можна вважати алгоритми й програми, розроблені для обчислювальних машин, які в умовних знаках відбивають (моделюють) певні процеси, що описані диференціальними рівняннями, покладеними в основу алгоритмів, а також різні структурні схеми, які відображають функціональні зв’язки між підсистемами складних систем.

Усі види таких математичних формалізацій будемо об’єднувати однією назвою – математична модель, а зміст цього терміну уточнюється залежно від конкретної ситуації.

Як уявні, так і матеріальні типи моделювання можуть бути або детермінованими() (відображають детерміновані процеси з однозначно визначеними причинами та їх наслідками), або стохастичними ( ) (відображають імовірнісні події). Подібність і моделювання будь-якого типу () можуть бути узагальненими(), тобто відображати явища оригіналу з тією чи іншою умовністю й реалізовуватися в реальному часі () при вивченні лінійних систем, а також у зміненому () відносно реального – при вивченні нелінійних.

2. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

2.1. ВСТУП

Надалі зосередимось на вивченні математичного моделювання. Нагадаємо, що під математичним моделюванням розуміють вивчення властивостей об’єкта на його математичній моделі. Метою математичного моделювання є виявлення оптимальних умов протікання процесу, керування ним на основі математичної моделі та перенесення результатів на об’єкт.

Неможливо уявити собі сучасну науку без широкого використання математичного моделювання. Сутність цієї методології полягає в заміні об’єкта, що досліджується, його образом – математичною моделлю – і подальшим вивченням моделі як методами математичного аналізу (аналітично), так і за допомогою обчислювально-логічних алгоритмів, які реалізуються на електронних обчислювальних машинах.

Цей метод пізнання, конструювання, проектування поєднує в собі переваги як теорії, так і експерименту. Робота не з самим об’єктом (явищем, процесом), а з його моделлю дає можливість безболісно, відносно швидко і без суттєвих витрат вивчати його властивості й поведінку в будь-яких можливих ситуаціях (переваги теорії). У той же час, обчислювальні експерименти (комп’ютерні, симуляційні, імітаційні) з моделями об’єктів дозволяють, опираючись на можливості сучасних обчислювальних методів і технічних засобів інформатики, детально й глибоко вивчати об’єкти з достатньою повнотою, недоступною чисто теоретичним (аналітичним) підходам (переваги експерименту). Не дивно, що методологія математичного моделювання бурхливо розвивається, охоплюючи все нові сфери – від розробки технічних систем і керування ними до аналізу найскладніших економічних і соціальних процесів.

Використання математичного моделювання можна хронологічно розбити на три етапи його розвитку.

Елементи математичного моделювання використовувались із самого початку виникнення точних наук. Не випадково, що деякі методи обчислень названі іменами таких корифеїв науки, як Ньютон і Ейлер, а слово алгоритм походить від імені середньовічного арабського вченого Аль-Хорезмі.

Друге народження цієї методології припало на кінець 40-х – початок
50-х рр. XX ст. і було зумовлено принаймні двома причинами. Перша з них – поява ЕОМ. Друга – безпрецедентне соціальне замовлення – виконання національних програм США і СРСР зі створення ракетно-ядерного щита, які не могли бути реалізованими традиційними методами. Математичне моделювання справилося з цією задачею: ядерні вибухи та польоти ракет і супутників були спочатку здійснені у надрах ЕОМ за допомогою математичних моделей, і лише потім – на практиці.

Зараз математичне моделювання вступає у третій принципово важливий етап свого розвитку – воно вбудовується у структури так званого інформаційного суспільства. Без володіння інформаційними ресурсами не можна навіть уявити розв’язання масштабних проблем, які стоять перед світовою спільнотою. Однак інформація як така мало що дає для аналізу і прогнозу, для прийняття рішень і контролю за їх виконанням. Потрібні надійні способи переробки інформаційної сировини на готовий продукт, тобто на точне знання. Історія методології математичного моделювання переконує: вона може й має бути інтелектуальним ядром інформаційних технологій, усього процесу інформатизації суспільства.

Технічні, екологічні, економічні та інші системи, які вивчаються сучасною наукою, більше не піддаються дослідженню (з потрібною повнотою й точністю) звичайними теоретичними методами. Прямий натурний експеримент над ними є довгим, дорогим, часто або небезпечним, або просто неможливим, оскільки багато з цих систем існують у єдиному екземплярі. Ціна помилок і прорахунків у поводженні з ними неприпустимо висока. Тому математичне (ширше – інформаційне) моделювання є обов’язковою складовою науково-технічного прогресу.