Основное уравнение гидростатики

Для установления зависимости гидростатического давления от глубины погружения рассмотрим в покоящейся жидкости вертикальный цилиндр (рис. 7.2) высотой h, являющийся частью всего объема и состоящий из жидкости, верх которого совпадает со свободной поверхностью жидкости, а горизонтальная площадь оснований равна S. Цилиндр вместе со всей жидкостью находится в покое, поэтому результирующая F всех сил, действующих на него, равна нулю; следовательно, и проекции этой силы на любую ось равны нулю, в частности

F_x = F_y = F_z= 0.

Массовая сила действует только по оси z, а поверхностные силы давления действуют Рис.7.2 на боковую поверхность; они в силу симметрии равны по величине, противоположны по направлению и вклада в составляющую F_z не вносят. На верхнее основание цилиндра действует давление, которое существует на свободной поверхности, равное , на нижнее основание цилиндра по нормали к нему действует гидростатическое давление . Кроме того, и это очень важно, на выделенный объем (цилиндр) действует сила тяжести (вес) G = ρ ghS, приложенная в его центре тяжести. Так как имеет место равновесие и F_z=0, то проектируя все силы, действующие на цилиндр на вертикальную ось, получаем

S+ ρ ghS-pS=0. (7.4)

При этом горизонтальные поверхностные силы, действующие только на боковую поверхность, на ось z дадут нулевые проекции. Сократив все члены уравнения (7.4) на S, получим

= +ρ gh. (7.5)

Уравнение (7.5) представляет собой основное уравнение гидростатики, его нужно понимать так: полное давление p в любой точке покоящейся жидкости складывается из давления на ее свободной поверхности и давления ρ gh, созданного за счет столба жидкости высотой h.

Пример 7.1. Определить избыточное давление на глубине 4 м. Примем плотность воды ρ =1000 кг/м³. Тогда по формуле (7.5) имеем

p_изб= ρ gh =1000 кг/м^{3 .} 9, 8 м/с^2. 4 м=39200 Па=39, 2 кПа. Давление на поверхности не учитываем.

Задача 7.1. В сосуд налита вода. Определить давление, которое испытывает стенка сосуда в точке М, находящейся на глубине h=0, 5 м.

Решение. Давление на стенку в точке М со стороны жидкости равно .

Давление, приложенное к стенке снаружи, равно барометрическому и поэтому результирующее давление , которое будет испытывать стенка, найдется по формуле

p _рез= p ₀+ρ gh- p _а=ρ gh= =4900 Па (в данном случае p ₀= p _а , т.е давление на поверхности жидкости равно атмосферному).