Недостатки теории

Расхождение теорий Эйнштейна и Дебая

Теория Эйнштейна, однако, недостаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов в силу неточности некоторых предположений Эйнштейна, в частности, предположения о равенстве частот колебаний всех осцилляторов. Более точная теория была создана Дебаем в 1912 году.

Вопрос

В термодинамике и физике твёрдого тела модель Дебая — метод, развитый Дебаем в 1912 г. для оценки фононного вклада в теплоёмкость твёрдых тел. Модель Дебая рассматривает колебания кристаллической решётки как газ квазичастиц — фононов. Эта модель правильно предсказывает теплоёмкость при низких температурах, которая, согласно закону Дебая, пропорциональна . В пределе высоких температур теплоёмкость стремится к 3R, согласно закону Дюлонга — Пти.

При тепловом равновесии энергия E набора осцилляторов с различными частотами равна сумме их энергий:

где — число мод нормальных колебаний на единицу длины интервала частот, — количество осцилляторов в твёрдом теле, колеблющихся с частотой ω.

Функция плотности в трёхмерном случае имеет вид:

где V — объём твёрдого тела, — скорость звука в нём.

Значение квантовых чисел вычисляются по формуле Планка:

Тогда энергия запишется в виде

где — температура Дебая, — число атомов в твёрдом теле, — постоянная Больцмана.

Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре получим:

Молярная теплоёмкость твёрдого тела в теории Дебая

В модели Дебая учтено, что теплоёмкость твёрдого тела — это параметр равновесного состояния термодинамической системы. Поэтому волны, возбуждаемые в твёрдом теле элементарными осцилляторами, не могут переносить энергию. То есть они являются стоячими волнами. Если твёрдое тело выбрать в виде прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b, c, то условия существования стоячих волн можно записать в виде:

n1•λ x/2=a; n2•λ y/2=b; n3•λ z/2=c; (n1, n2, n3 — целые числа)

Перейдём к пространству, построенному на волновых векторах. Поскольку K=2π /λ, то

Kx=2π /λ x=π •n1/a; Ky=2π /λ y=π •n2/b; Kz=2π /λ z=π •n3/c

Таким образом, в твёрдом теле могут существовать осцилляторы, с частотами, изменяющимися дискретно. Одному осциллятору в К-пространстве соответствует ячейка с объёмом

τ =∆ Kx•∆ Ky•∆ Kz= ,

где

∆ Kx=π /a; ∆ Ky=π /b; ∆ Kz=π /c

В к-пространстве осцилляторам с частотами в интервале (ω, ω +dω) соответствует один октант сферического слоя с объёмом

dVk=4π K2dK/8=π K2dK/2

В этом объёме количество осцилляторов равно

dNk=dVk/τ =

Учтём, что каждый осциллятор генерирует 3 волны: 2 поперечные и одну продольную. При этом K||=ω /v||, K⊥ =ω /v⊥

Найдём внутреннюю энергию одного моля твёрдого тела. Для этого запишем взаимосвязь между волновым числом, скоростью распространения волн и частотой.

Колебания в твёрдом теле ограничены максимальным значением частоты. Определим граничную частоту из условия:

Отсюда:

< є> — средняя энергия квантового осциллятора (см. модель теплоёмкости Эйнштейна).

Кв — постоянная Больцмана.

Na — число Авогадро.

В последнем выражении сделаем следующую замену переменных:

; ℏ ω =KВθ; ;

Θ — температура Дебая

Теперь для UM получим

Наконец, для молярной теплоёмкости получаем

C=dUM/dT=3R

Легко проверить, что при условии T→ ∞ C→ 3R, а при условии T→ 0 C→ ~T3

Интеграл может быть взят методами теории функций комплексной переменной или с использованием дзета-функции Римана. Таким образом, теория Дебая соответствует результатам экспериментов.

Вопрос

Дефектами кристалла называют всякое нарушение трансляционной симметрии кристалла — идеальной периодичности кристаллической решётки. Различают несколько разновидностей дефектов по размерности. А именно, бывают нульмерные (точечные), одномерные (линейные), двумерные (плоские) и трёхмерные (объемные) дефекты.