II. Неопределенность вида .

Тема III. Дифференциальное исчисление функции

С одной переменной.

Правило Лопиталя».

Изучив уже производную и дифференциал функции с одной переменной, мы снова возвращаемся к вычислению пределов функций, так как в случаях вычисления пределов, приводящих к «неопределенностям» вида

иногда применяют правило Лопиталя, которое использует понятие производной и дает возможность раскрыть указанные неопределенности.

Теорема Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Рассмотрим случаи, когда теорема Лопиталя применяется непосредственно и когда ее применение становится возможным после некоторых несложных преобразований.

I. Неопределенности вида (непосредственное применение теоремы Лопиталя).

Если , причем функции и определены в интервале, содержащем точку a, и имеют в этом интервале конечные производные

(причем ) и если и или и , то , при условии, что этот предел существует или равен .

В случае, если снова представляет собою неопределенность вида или , применяют правило Лопиталя повторно и т.д.

Пример:

САМОСТОЯТЕЛЬНО: Вычислить пределы функций:

1. 2. ; 3. .

II. Неопределенность вида.

Если и , , то для нахождения предела функцию преобразуют к виду или ,

что приводит к случаю или , т.е. непосредственному применению правила Лопиталя.

Пример:

САМОСТОЯТЕЛЬНО: Вычислить пределы функций:

1. 2. ; 3.

III. Неопределенность вида .

Если и , , то для нахождения предела разность алгебраически преобразуют к виду или . Это можно сделать различными способами, например: .

Пример:

САМОСТОЯТЕЛЬНО: Вычислить пределы функций:

1.