Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Точки, в которых или вторая производная в этих точках не существует, называются критическими точками второго рода.






    Достаточные условия существования точки перегиба.

    Если при переходе через критическую точку слева направо вторая производная меняет знак, то имеется перегиб; если перемены знака нет, то перегиба нет.

    Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции y= .

    Решение. Найдем область определения функции. D(f) =(-¥, +¥)

    Найдем вторую производную Найдем критические точки второго рода. - критическая точка.

    х (-¥, -2) -2 (-2, +¥)
    y” -   +
    y выпукла Пер. вогнута

     

    (-2, -2 ) – точка перегиба.

    (-¥, -2) - интервал выпуклости, (-2, +¥) - интервал вогнутости.

     

     

    Асимптоты графика функции.

     

    При исследовании функции необходимо установить ее поведение при удалении текущей точки графика функции от начала координат. В некоторых случаях это можно сделать с помощью прямой, к которой неограниченно приближается текущая точка графика функции при удалении ее от начала координат.

    Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении ее от начала координат.

    Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Пусть М(х, у) – текущая точка графика функции. Точка М (х, у) может удаляться от начала координат следующим образом:

    1) х® а, у® ¥; 2) х®¥, у® b, 3) x®¥, y®¥.

    В первом случае имеем , и прямая x = a является вертикальной асимптотой.

    Во втором случае и прямая y = b будет горизонтальной асимптотой.

    В третьем случае график функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид y = kx +b.

    Необходимое и достаточное условие существование невертикальных асимптот устанавливается с помощью теоремы:

    Теорема. Для того чтобы прямая y = kx +b была асимптотой графика функции , необходимо и достаточно существование пределов

    Если не существует хотя бы один из пределов, то невертикальных асимптот нет.

    Пример. Найти асимптоты графика функции

    Решение. Точки х = 1 и х = -1 являются точками разрыва второго рода данной функции. Так как и , то прямые являются вертикальными асимптотами.

    Найдем невертикальные асимптоты. При получаем

     

    ,

    Следовательно, правой асимптотой является прямая у = х.

    Аналогично, при имеем.

    ,

    Левой асимптотой графика функции является прямая у = - х

     

    Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.204-209

     

     

    Практическое занятие 8

    Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:

    1.

    Отв. A) убывает, возрастает,

    B) возрастает, убывает,

    C) возрастает, убывает,

    D) возрастает, убывает,

    E) возрастает, убывает,

    2.

    Отв. A) убывает, возрастает,

    B) возрастает, убывает,

    C) возрастает, убывает,

    D) возрастает, убывает,

    E) возрастает, убывает,

    3.

    Отв. A) убывает, возрастает,

    B) возрастает, убывает,

    C) возрастает, убывает,

    D) возрастает, убывает,

    E) интервал возрастания, экстремумов нет.

     

    4. 5.

    6.

    Отв. A) убывает, (0, 2) – возрастает,

    B) возрастает, (-2, 0) – убывает,

    C) возрастает, (0, 2) – убывает,

    D) возрастает, (0, 3) – убывает,

    E) возрастает, (1, 2) – убывает,

     

    7. 8.

    9. 10.

    11. 12.

     

    Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графиков функции:

     

    1. 2.

    3. 4.

    5. 6.

    7. 8.

    Найти асимптоты графика функции.

    1. 2.

    3. 4.

    5. 6.

    7. 8.

    9. 10.

     

    Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

    Решение. 1) Функция определена при х > 0. (0, +¥) – область определения.

    2). Исследуем поведение функции на границе области определения.

    3) Из предыдущего пункта следует, что прямая х = 0 является вертикальной асимптотой, а прямая у = 0 – горизонтальной асимптотой. Будем находить невертикальные асимптоты y = kx +b.

    Так как , то наклонной асимптоты нет; прямая у = 0 – горизонтальная асимптота.

    4) Найдем точку пересечения c осью О х. Если у = 0, то Точка Р (1; 0) есть точка пересечения графика функции с осью О х.

    5) Функция будет функцией общего вида, так как область определения функции не является симметричной относительно начала координат, и поэтому не выполняются условия четности и нечетности функции. Функция непериодическая.

    6) Для нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции найдем критические точки. Для этого найдем первую производную

    Решив уравнение найдем критические точки, подозрительные на экстремум. - критическая точка.

    Исследуем знак первой производной при переходе через критическую точку в сторону возрастания х. Результаты исследования представим в виде таблицы.

    х (0, e) e (e, ¥)
    y’ +   -
    у   возрастает   max   убывает

     

    , - интервал возрастания, интервал убывания.

    6) Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и исследования на перегиб найдем вторую производную.

    Решив уравнение найдем критические точки второго рода.

    критическая точка второго рода.

    Исследуем знак второй производной при переходе через критическую точку в сторону возрастания х. Результаты исследования представим в виде таблицы.

    х (0, )
    y  
    y   выпуклый   Пере-гиб   вогнутый

     

    точка перегиба графика функции.

    8) Используя результаты исследования, строим график функции

     

     

     

     

     

    у

     

     

    O 1 e x

     

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.