Влияние кривизны Земли на результаты горизонтальных и вертикальных измерений.

Для обработки результатов геодезических измерений и при получении топографических материалов (крупно­масштабного изображения на бумаге физической поверх­ности Земли) ее точки предварительно проецируют (отно­сят) отвесными линиями на поверхность более простую, чем земная. Такой поверхностью относимости могут быть поверхности референц-эллипсоида, шара, плоскости. Проецирование точек линиями, перпендикулярными к по­верхности относимости называют ортогональным.

Получить ортогональную проекцию земной поверх­ности на плоскость наиболее просто, поскольку при этом не нужно учитывать кривизну Земли.

Примем Землю за шар радиуса R (рис. 8). Сравним длину дуги MB=D с длиной касательной Mb = d. Получим d=Rtgепсилонд и D=Rепсилонд. Обозначим разность (d — D) через дельтаd, тогда дельтаd = R(tg e — e).

Ограничимся первыми двумя членами этого убывающего ряда и пренебрежём последующими из-за их малости, тогда дельтаd=Re^3/3=d^3/3R^2

При R =15000 км и d= 10 км, получим

Дельтаd/d=1/3*36*10^4=1/1000000

Такой погрешностью характеризуются наиболее точные геодезические измере­ния. Следовательно, участки земной по­верхности размером 20x20 км² во всех случаях можно считать плоскими.

Рис. 8. Влияние кривизны Земли на точность определе­ния высот

Определим величину выражающую влияние кри­визны Земли на точность определения высот точек земной У поверхности.

Из прямоугольного треугольника О Mb

d²=(R+k)^2 — R^2 = 2Rk+k^2; откуда k = d²/{2R+k).

Поскольку величина k мала по сравнению с радиусом R Земли, то k = d²/2R

Придавая d различные значения, получим следующие значения k:

d, м.................. 100 300 500 1000

k, см.................. 0, 1 0, 8 2, 1 8, 3

При возведении строительных конструкций погреш­ности высотных измерений и построений в среднем не должны превышать 1-2 мм, поэтому влияние кривизны земли на определение высот должно учитываться.