Динамические характеристики

Для описания динамических режимов двигателя воспользуемся системой уравнений (3.39), которая с учетом принятых нами допущений о неявнополюсном роторе и возбуждении от постоянных магнитов, а также с учетом (3.2) получит вид

u_d = L × di_d / dt − Li_q ω _р+ r _а i_d,
u_q = L × di_q / dt + Li_d ω _р+Ψ _r ω _р+ r _а i_q.

Полученная система уравнений описывает электромагнитные процессы в двигателе. Дополним ее уравнением механической части двигателя

J × d ω / dt =3Ψ _ri_q − M _с,

где J – момент инерции ротора двигателя, M _с – статический момент на валу двигателя.

Перепишем полученную систему в относительных единицах, приняв за базовые значения тока, момента и скорости следующие величины

I _б= U / r _а, M _б=3 I _бΨ _r, ω _б= U /Ψ _r.

В результате получим

(3.48)

(τ _э p +1) i_d − τ _эω i_q =− sinθ,
τ _эω i_d +(τ _э p +1) i_q =cosθ − ω,
τ _м p ω = i_q − m _с,

где τ _э= L ω _б/ r, τ _м= Jr /(3Ψ _r)², m _с= M _с/ M _б, p = d / d τ, τ =ω _б t – безразмерное время, M _с – статический момент на валу двигателя.

Решив систему (3.48) относительно ω, получим

(τ _мτ _э² p ³+2τ _мτ _э p ²+(τ _мτ _эω ²+τ _м+τ _э) p +
+(1− τ _эsinθ − τ _э²ω))ω =(1+τ _э p)cosθ + m _с(1+τ _э p)².

Полученное уравнение показывает, что в данном случае так же, как и для асинхронного двигателя, мы имеем существенно нелинейную систему, точное исследование которой возможно только численными методами. Для приближенного аналитического описания динамической модели синхронного двигателя линеаризуем уравнение при малых отклонениях скорости и момента на валу, обозначив:

Δ m = m _с0− m _с, Δ ω =ω _с− ω, Δ θ =− Δ ω / p,

где знаком Δ отмечены малые отклонения статического момента и скорости относительно их установившихся значений.

Разлагая нелинейные зависимости в ряд Тейлора в точке установившегося режима и пренебрегая малыми второго порядка, получим передаточную функцию двигателя по возмущению:

(3.49)

где

b ₂=τ _э², b ₁=2τ _э, b ₀=1+ω _с²τ _э²,
a ₄=τ _э²τ _м, a ₃=2τ _эτ _м, a ₂=τ _мτ _э²ω _с²+τ _э+τ _м,
a ₁=1, a ₀=sinθ ₀− τ _эω _сcosθ ₀.

Таким образом, синхронный двигатель представляет собой динамическую систему четвертого порядка. Отметим, что согласно (3.43) установившаяся ошибка по скорости равна нулю, что согласуется с принципом действия двигателя. В большинстве случаев на роторе синхронного двигателя имеется короткозамкнутая пусковая или демпферная обмотка. Наличие их не изменит порядка системы, а повлияет только на значения некоторых коэффициентов передаточной функции. В частности, увеличится коэффициент a ₁, что способствует повышению устойчивости двигателя. В общем случае о динамической устойчивости двигателя необходимо судить по характеристическому уравнению, исследуя его известными методами теории автоматического управления. В практике иногда встречаются сочетания параметров, при которых двигатель оказывается неустойчивым. Для обеспечения устойчивости вводят регулирование возбуждения или обратную связь по положению ротора.

В простейшем случае при пренебрежении индуктивностью обмоток, т.е. при τ _э=0, передаточная функция по возмущению получит вид

W (p)= p /(τ _м p ²+ p +sinθ ₀)

Из нее можно заключить, что даже при пренебрежении индуктивностью статорной обмотки синхронный двигатель является динамической системой второго порядка. Напомним, что двигатель постоянного тока представляет собой систему первого порядка, поэтому стабилизация систем с синхронным двигателем более сложная.