Неоднозначність рішення для внутрішньої ставки доходності

Для вирішення наступного завдання спочатку треба засвоїти техніку створення таблиць даних у середовищі Microsoft Excel.

Для виконання наступних завдань перейдіть на «Лист 2» Microsoft Excel.

Набір команд, пов’язаних із таблицями даних є потужним інструментом для аналізу чутливості. Microsoft Excel надає можливість створювати таблиці, в яких варіюється одна змінна або дві. Таблиці даних – це функції, що створюють масиви, які динамічно змінюються при внесенні змін у відповідні осередки листа Microsoft Excel.

Розглянемо процес створення одно- та двомірних таблиць даних на листах Microsoft Excel.

Розглянемо проект, початковою вартістю $1150 та сім очікуваних щорічних надходжень грошових засобів. Вони зростають із коефіцієнтом g протягом 1-7-го років так, що грошове надходження, або потік (ДП), у році номер t дорівнює ДП_t = ДП_t–1 × (1 + g). Знаючи ставку дисконтування r, отримуємо чисту приведену вартість проекту (ЧПС):

.

Внутрішня ставка доходності (ВСД) i – це ставка дисконтування, за якою ЧПС = 0:

.

Наведений розрахунок легко виконується в Microsoft Excel. В наступному прикладі перше грошове надходження дорівнює $234, темп зростання g = 10%, ставка дисконтування r = 15%.

Зверніть увагу на адреси осередків, що містять темп зростання, ставку дисконтування, ЧПС та ВСД. Вони знадобляться у подальших розрахунках.

Нехай, потрібно з’ясувати, як на ЧПС та ВСД впливає зміна темпів зростання. Це можна з’ясувати за допомогою команди «Таблица подстановки» в меню «Данные». Першим кроком буде створення структури таблиці. Формули для ЧПС та ВСД розміщують у верхньому рядку, а змінна, що варіюється (у даному випадку – темп зростання), – у першому стовпці. На цьому етапі таблиця виглядає так, як показано нижче:

Фактична робота таблиці (без заголовків рядків і стовпців) відмічена жирною рамкою. Числа, що стоять безпосередньо під мітками «ЧПС» та «ВСД», отримані за відповідними формулами з попереднього рисунку. Так, якщо осередок B9 містить розрахунок ЧПС, то осередок під буквами «ЧПС» (C17) містить формулу =B9. Аналогічно, якщо осередок B10 містить розрахунок ВСД, то осередок під заголовком «ВСД» (D17) містить формулу =B10.

Отже, слід розуміти, що лист, який містить таблицю даних, складається з двох логічних частин:

1. Основний приклад.

2. Таблиця, що виконує аналіз чутливості основного прикладу. У нашому випадку перший рядок таблиці містить посилання на розрахунок, який виконано у основному прикладі.

Тепер виконайте наступні дії.

1. Виділіть область таблиці, що обведена жирною рамкою.

2. Виберіть у меню «Данные» команду «Таблица подстановки». Відкриється діалогове вікно, де слід вказати підстановку значень за стовпцями чи/або за рядками.

В нашому випадку змінна, що варіюється, знаходиться у лівому стовпці таблиці, тому залишаємо поле «Подставлять значения по столбцам» порожнім, та вказуємо осередок B2, що містить темп зростання, у полі «Подставлять значения по строкам». Результат виконання операції наведено нижче:

За допомогою описаної команди можна варіювати одну формулу, змінюючи в ній два параметри. Нехай, тепер необхідно розрахувати ЧПС грошових надходжень для різних темпів зростання та ставок дисконтування. Для цього створимо таблицю, наведену нижче:

У верхньому лівому куті таблиці знаходиться формула =B9, яка містить посилання на основний приклад.

Тепер знов скористаємося командою «Таблица подстановки». На цей раз заповнюємо як поле «Подставлять значения по столбцам» – вказуємо в ньому осередок B3, що містить ставку дисконтування, так і поле «Подставлять значения по строкам» – вказуємо в ньому осередок B2, що містить темп зростання грошових надходжень.

Результат виконання даної операції наведено нижче:

Таким чином, опановано техніку створення таблиць даних у Microsoft Excel.

Наступні завдання слід продовжувати виконувати на «Лист 1» Microsoft Excel.

Повернемося до основного завдання – знаходження неоднозначного рішення для внутрішньої ставки дисконтування.

Іноді для грошових потоків існує кілька значень ВСД. В наступному прикладі можна точно сказати, що послідовність грошових надходжень у осередках C68: C73 має дві можливих ВСД, оскільки графік величини ВСД двічі перетинає вісь x.

Функція ВСД (IRR) програми Microsoft Excel дозволяє добавити аргумент, за допомогою якого можна знайти обидві величини ВСД. Для цього замість запису ВСД (C68: C73) слід записати ВСД (C68: C73, нач_приближ). Аргумент нач_приближ – це початкове наближення для алгоритму, за яким Microsoft Excel розраховує ВСД. Варіюючи початкове наближення, можна визначити обидві шукані величини. Це ілюструють осередки B101 та B102.

Зробимо два зауваження стосовно цієї процедури.

1. Аргумент нач_приближ повинен бути достатньо наближений до ВСД, оскільки рішення не одно. Наприклад, якщо встановити початкове значення наближення 0, 1 або 0, 5, отримаємо ті ж значення ВСД, що першого разу:

Виконайте відповідні розрахунки ВСД із вказаними наближеннями (0, 1 та 0, 5), поверніть результати попередніх розрахунків.

2. Щоб визначити порядковий номер і приблизне числове значення ВСД, зручно будувати графік ВСД даної інвестиції як функцію від різних ставок дисконтування (як було зроблено вище). Внутрішні ставки доходності (ВСД) будуть відповідати точкам, в яких графік перетинає вісь x, а наближені координати точок слід задавати в якості початкових наближень функції ВСД (на графіку точки перетину з віссю x відповідно 10% і 27% – це і є значення наближень, тобто 0, 1 та 0, 27). Якщо не задавати початкове наближення, Microsoft Excel за замовченням прийме його за 0. Тоді у нашому прикладі вираз ВСД(C68: C73) надасть 8, 78%.

З технічної точки зору послідовність потоків грошових засобів може мати кілька ВСД тільки у тому випадку, якщо наявні хоча б дві зміни знаку. Розглянемо, наприклад, придбання облігації з 10% купоном, номінальною вартістю $1000 та восьмирічним терміном сплати. Якщо поточна ринкова ціна облігації складає $800, то потік грошових засобів змінює знак лише один раз (з від’ємного у нульовому році на позитивний у роках із першого по восьмий). Для такого випадку існує лише одно значення ВСД:

Завдання для самостійного виконання

Завдання для самостійного виконання оформлюються на «Лист 3» Microsoft Excel. Оформлення повинно містить назву та номер завдання, опис умови та результати із відповідними поясненнями у вигляді приміток.

Завдання 1. Вам запропонували придбати актив вартістю $600, який надаватиме грошові надходження $100 на кінець року протягом наступних десяти років. Якщо ставка дисконтування цього активу складає 8%, чи варто його придбати? Яка ВСД даного активу?

Завдання 2. Вам запропонували зробити інвестицію за наступних умов: сума інвестиції складає $1000; інвестиція надає грошове надходження у розмірі $ X на кінець першого року; кожен рік протягом 11 років це надходження зростає на 10%. Нехай ставка дисконтування складає 15%. Розрахувати мінімальне значення X, яке б робило інвестицію (придбання активу) доцільною.

Завдання 3. В наступній схемі грошових надходжень є дві можливі ВСД. Чому?

За допомогою засобів Microsoft Excel побудувати графік ЧПС для даного потоку грошових засобів як функції від ставки дисконтування. За допомогою функції ВСД (IRR) визначити обидва значення внутрішньої ставки доходності. Чи здійснили б ви капіталовкладення у даний проект, якщо б його альтернативна вартість (ціна можливості) складала б 20%?

Завдання 4. Необхідно розрахувати внутрішню ставку доходності методом послідовних наближень. Вартість інвестиції $800, вона надає грошові надходження у розмірі $300, $200, $150, $122, $133 протягом 1-5 років. Побудувати таблицю повернення грошових засобів, враховуючи ВСД? = 10%. Вона повинна показати, що величина 10% перевищує ВСД (оскільки повернення основної суми на кінець 5-го року менше, ніж основна сума на початок року). Зробіть значення осередку ВСД? таким, що дорівнює 3%. Це повинно довести, що ця величина менша за шукану ВСД, оскільки повернення основної суми на кінець 5-го року перевищує основну суму на початок року. Варіюючи значення осередку ВСД?, знайдіть внутрішню ставку дохідності даної інвестиції.

Завдання 5. Виконайте завдання 4 альтернативним способом, а саме: визначення ВСД – норма прибутку, яка робить основну суму інвестиції на початок 6-го року такою, що дорівнює 0. Знайдіть шукану величину за допомогою функції Microsoft Excel «Подбор параметра».

Завдання 6. Маємо проект, поточна вартість якого $500. За ним очікуються грошові надходження протягом наступних п’яти років у розмірі $100, $100 × (1 + g), $100 × (1 + g)²,..., $100 × (1 + g)⁴. За допомогою таблиці даних проаналізуйте чутливість ЧПС проекту, варіюючи ставку дисконтування у діапазоні 0, 3,..., 21%, а темп зростання грошових надходжень – у діапазоні 0, 3,..., 12%.

[1] У фінансовій літературі можна зустріти багато синонімів терміну «альтернативна вартість», таких як «ставка дисконтування» (discount rate), «процентна ставка» (interest rate) або «вартість капіталу» (cost of capital).