Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

При введении понятия математического ожидания воспользуемся понятием элемента вероятности р(х) Dх.

Предположим, что все возможные значения случайной величины Х принадлежат отрезку [а, b]. Разобьем произвольным образом этот отрезок точками а=x₀< x₁< x₂< …< x_n=b на п частичных отрезков. В каждом таком частичном отрезке, длина которого Dх, произвольно возьмем точку h_i, где i=l, 2, 3,..., п. Известно, что вероятность попадания значения непрерывной случайной величины на отрезок Dх приближенно равна р(х)Dx (элемент вероятности) и поэтому приближенно будем считать, что случайная величина Х может принять n значений h_i на отрезке [а, b] с вероятностями р(h_i) Dx_i. Теперь можно воспользоваться формулой, задающей математическое ожидание для дискретной случайной величины. В результате будем иметь

Переходя к пределу в правой части равенства, имеем:

Определение. Математическим ожиданием M(X) непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины распределены по всей оси Ох, то

Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т. е. существует.

Т.к. дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания, то

Дисперсией непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называется определенный интеграл

или

.

При вычислении дисперсии НСВХ также можно пользоваться формулой

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

Свойства математического ожидания и дисперсии НСВХ аналогичны свойствам числовых характеристик ДСВХ.

Рассмотрим примеры решения задач.

Пример 1. НСВХ задана интегральной функцией

Найти вероятность того, что НСВХ примет значение из интервала(-2; 2).

Решение:

Т.к. значения НСВХ распределены на интервале (-1; 3) и левее данного интервала F(x)=0, то интервал (-2; 2) заменим на интервал (-1; 2), тогда

Пример 2. НСВХ задана плотностью распределения

Найти вероятность попадания в интервал (-p; p/4).

Решение: Найдем коэффициент а из условия

Все значения НСВХ распределены на интервале (-p/2; p/2), тогда задача сводится к вычислению вероятности попадания НСВХ в интервал (-p/2; p/4):

Пример 3. Задан график интегральной функции распределения НСВХ (парабола с вершиной в начале координат). Задать НСВХ аналитически. Найти плотность распределения р(х) и построить ее график, вероятность попадания в интервал (-2; 4), числовые характеристики.

Решение: Все значения НСВХ распределены на интервале (0; 6). И данном интервале графиком функции F(x) является парабола, уравнение которой y= k x². Найдем k, подставив в уравнение параболы координаты точки (6; 1):

1=36 k, откуда k= 1/36. Тогда интегральная функция имеет вид:

Плотность распределения равна первой производной интегральной функции:

Построим ее график:

Вычислим вероятность попадания НСВХ в интервал (-2; 4). Т.к. левее х=0 вероятность равна нулю, вычислим вероятность попадания в интервал (0; 4):

Найдем числовые характеристики:

Контрольные вопросы

1. Сформулировать определение непрерывной случайной величины.

2. Что такое плотность распределения вероятностей?

3. Каким свойством обладает плотность распределения вероятностей?

4. Как найти интегральную функцию, зная плотность распределения и наоборот?

5. Перечислить свойства интегральной функции.

6. Дать определения числовым характеристикам НСВХ.