А. Отражение

Исследуем сначала поведение и на границах отрезка :

при (просто положить равным нулю нельзя, потому что будет неопределенность):

для случая падения из воздуха в стекло ():

т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить, что если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в воздух, то это значение не изменится)

В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при :

Действительно, преломленной волны при скользящем падении не образуется и интенсивность падающей волны не меняется.

В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную, необходимо учесть явление полного внутреннего отражения, когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности раздела. Это происходит при значениях больших, чем , вычисляемого следующим образом:

[1][к1]

Для падения из стекла в воздух

Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение, поэтому в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную изменяется до , в этом случае:

Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками, для этого исследуем на монотонность функции: и

Нам понадобится производная , найдем ее как производную функции, заданной неявно:

Знак этой производной (поскольку , ) зависит только от знака выражения , это выражение > 0, когда (то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную) и < 0, когда (из более оптически плотной в менее оптически плотную), следовательно в первом случае монотонно возрастает, а во втором, убывает. Но в случае , следовательно по модулю это выражение будет возрастать, в случае оно также будет по модулю возрастать. Таким образом, , как квадрат этого выражения, в обоих случаях монотонно возрастает от при до 1 при .или .

Знак этой производной, (поскольку ,

есть > 0 при и < 0 при .

Знак функции меняется следующим образом:

при если невелико > 0, но эта функция проходит через нуль. Поскольку числитель, при рассматриваемых пределах изменения в 0 обращаться не может[2][к2] это происходит тогда, когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:

Это есть угол Брюстера (), при котором обращается в 0, то есть отраженная волна отсутствует. Для случая падения из воздуха в стекло , для обратного случая (из стекла в воздух) При переходе через этот угол меняет знак на минус, следовательно как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля), а затем возрастает (до 1).

При для небольших < 0, при переходе через знак будет меняться на плюс. Переход через действительно будет иметь место, хотя изменяется до , а не до , поскольку . Таким образом снова монотонно убывает до 0, а затем монотонно возрастает до 1.

Итак, в обоих случаях сначала монотонно убывает от при до 0 при , а затем монотонно возрастает до 1 при или .

Полученные зависимости иллюстрируются следующими графиками:

на первом показана зависимость (сплошная линия) и (пунктирная линия) от для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)

на втором -для случая падения волны из стекла в воздух