Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Лекция 4. Перемещения точек. Связи механической системы. Их классификация.
|
|
Мерой механического взаимодействия МТ, АТТ, МС является сила. Силы принято разделять на активные и реактивные – реакции связей.
Связями называют в механике любые ограничения, накладываемые на положение и скорость рассматриваемого объекта.
Пружина или силовое поле, например, поле тяжести или поле тяготения, связями не являются, т.к. не накладывают никаких ограничений на положение или скорость объекта, взаимодействующего с ними.
Механическая система со связями называется несвободной в противоположность свободной системе, у которой связей нет (Солнечная система, например). Учет наличия связей на аналитическом уровне в задачах механики и составляет одну из основных проблем аналитической механики.
Основными объектами в аналитической механике: материальная точка (МТ), абсолютно твердое тело (АТТ), механическая система (МС).
Для объединения этих понятий будем считать, что рассматривается система взаимодействующих N материальных точек Pi (i =1, 2, …, N, N =1, 2, …). Сохраним в дальнейшем, если не будет оговорено другое, за индексом i значение номера точки в таком объекте, а за N – число точек.
Среди различных реальных и воображаемых перемещений точек МС принято выделять действительные (конечные и бесконечно малые), возможные и виртуальные.
Действительными перемещениями механической системы будем называть конечные и бесконечно малые перемещения точек системы, происходящие во времени в соответствии с действующими на нее силами и имеющимися связями, согласованные с начальными условиями.
Возможными перемещениями механической системы будем называть бесконечно малые воображаемые согласованные со связями перемещения ее точек за бесконечно малый промежуток времени.
Виртуальными перемещениями механической системы будем называть бесконечно малые воображаемые согласованные со связями перемещения ее точек без изменения времени.
Виртуальные перемещения можно трактовать как разность между возможными, совершенными за один и тот же промежуток времени. Т.е. это не перемещения, а сравнение возможных перемещений.
Рис. 4.1.
| Рис. 4.1 иллюстрирует введенные понятия для одной из точек (Mi) системы. Показана траектория, и положение точки в некоторый момент времени t, векторы действительного бесконечно малого перемещения  , происшедшего за бесконечно малый промежуток времени dt, двух возможных перемещений  и  за тот же промежуток времени, виртуального перемещения  .
|
Заметим, прежде всего, что наличие связи аналитически будет отражаться записью уравнения связи, вида
,
в которое будут входить, согласно определению, координаты и скорости точек, положение и скорость которых принимают согласованные со связями значения. В более компактной записи это уравнение будем записывать
, (4.1)
или, еще короче
. (4.2)
Здесь j ‑ номер связи, j =1, 2, …, l, l – число связей (будем придерживаться для j и l этих обозначений и далее).
Заметим также, что действие некоторых связей носит односторонний характер и может прекращаться, когда МС покидает связь (таковы, например, нить, гладкая поверхность и т.п.). Аналитически это будет отражаться тем, что вместо равенства в качестве уравнения связи будет использоваться неравенство
. (4.3)
Это неравенство превращается в равенство, когда связь работает, т.е. включена или напряжена, когда же связь не работает, т.е. выключена, ее можно не учитывать. Таким образом, уравнением связи может быть равенство или неравенство. Причем без ограничения общности можно считать, что имеет место всегда равенство.
Например, для твердого тела – стержня АВ (рис. 4.2), можно записать уравнение связи в виде
, (4.4)
где xA, xB, yA, yB, zA, zB – координаты концов стержня. В то же время, если вместо стержня AB точки A и B соединить нерастяжимой нитью AB (рис. 4.3),
Рис. 4.2
| 
Рис. 4.3
|
то уравнение связи представится неравенством
(4.5)
Проведем классификацию связей.
1. Из определения следует разделение на связи, ограничивающие положение точек (геометрические связи), при этом уравнение связи имеет вид
, (4.6)
и связи, накладывающие ограничения на скорости точек (кинематические связи) с уравнением вида (4.2), причем очень часто это уравнение линейно относительно скоростей
. (4.7)
2. Если время в уравнение связи явно не входит, т.е. уравнение (4.2) представляется записью
,
то связь называется стационарной или склерономной, в другом случае, ‑ нестационарной или реономной.
Примеры геометрических связей представлены рис. 4.2 и 4.3, а кинематических – рис. 4.4 (клиноременная передача) и рис. 4.5 (качение шара без проскальзывания). В качестве уравнения связи рис. 4.4 можно взять кинематическое соотношение между угловыми скоростями шкивов (предполагается, что скольжение ремня по шкивам отсутствует)
,
где w1, w2 – угловые скорости шкивов, а R1 и R2 – их радиусы. В случае, показанном на рис. 4.5, можно записать 
.
Рис. 4.4
| 
Рис. 4.5
|
3. Связь называется удерживающей или односторонней, если ее уравнение представляется равенством (4.2), и неудерживающей или двусторонней, если ее уравнение представляется неравенством (4.3).
В качестве примера рассмотрим рис. 4.6 и 4.7.
Рис. 4.6
| 
Рис. 4.7
|
В первом случае длина нити, на которой подвешен маятник, постоянна, в другом случае – переменна. Поэтому, если в первом случае (рис. 4.6) уравнением связи будет равенство (4.4) или неравенство (4.5), в зависимости от того, АВ это нить или стержень, то во втором случае (рис. 4.7) длина маятника меняется согласно некоторому закону, поэтому следует записать
или
.
4. Связь называется голономной, если она геометрическая или кинематическая и ее уравнение путем интегрирования можно привести к виду (4.6). Если уравнение кинематической связи нельзя проинтегрировать, то такая связь называется неголономной. Таким образом, все геометрические связи являются голономными. Механическая система, у которой имеется хоть одна неголономная связь, называется неголономной.
5. Связь называется идеальной, если суммарная работа сил ее реакций при любом виртуальном перемещении системы равна нулю
, (4.8)
где 
‑ сила реакции связи, приложенная к i -й точке.
Большинство связей, рассматриваемых в теоретической механике, обладают свойством идеальности. Из определения понятно, что идеальные связи не рассеивают и не добавляют энергии МС. Второе – очевидно, а первое и составляет идеальность, обычно связанную с пренебрежением силами трения.
Реакции связей практически никогда полностью не бывают известными и их нахождение, часто, и является основной целью решения задач динамики или статики. С другой стороны, во многих задачах, наоборот, они интереса не представляют, а их приходится находить, чтобы найти необходимые неизвестные и решить задачу. Для большого класса задач, в которых имеют место идеальные связи, удается построить решение задачи без рассмотрения реакций таких связей. Приведем примеры идеальных связей.
Абсолютно твердое тело. Силы взаимодействия любой пары точек тела одинаковы и противоположны, т.е.
(здесь i и k – номера точек). Расстояние между точками неизменно, т.е.
. (4.9)
Поскольку силы направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки, то 
, где l ‑ некоторый скалярный множитель. Тогда выражение суммарной виртуальной работы этих сил будет иметь вид
.
Последнее справедливо, в силу выполнения условия (4.9).
Рис. 4.8
Рис. 4.9
| Скольжение тела по гладкой поверхности.
В этом случае(рис. 2.8) векторы силы реакции поверхности  и виртуального перемещения  тела будут взаимно перпендикулярными, и, следовательно,  .
Скольжение тела по шероховатой поверхности. В этом случае(рис. 4.9) добавится виртуальная работа силы трения скольжения  , что делает, т.е. связь не идеальной, т.к.  .
Качение без проскальзывания. В этом случае(рис. 4.9) вектор виртуального относительного перемещения точки контакта тела с поверхностью  , следовательно,  .
|
|
|