Метод наименьших квадратов

Пусть переменная величина у, являющаяся функцией переменой величины х, измеряется при n различных значениях х, т.е. получают n экспериментальных точек: (х₁, у₁); (х₂, у₂); …(х_n, у_n). Будем считать, что зависимость у от х является функцией , вид которой зависит от параметров a₁, a₂, …, a_m. Величину этих параметров находят из условия минимума суммы квадратов:

.

Отсюда и название рассматриваемого метода. Из условия минимума S следует система уравнений

(i=1, 2, …, m), (1.19)

решая которую находят значения параметров .

Будем считать, что зависимость между х и у является линейной: .

Тогда . (1.20)

Подставляя сумму квадратов S, определяемую формулой (1.20) в уравнения (1.19) и решая их, найдем такие значения А и В параметров и , при которых сумма (1.20) минимальна, т.е. минимальна сумма квадратов отклонений экспериментальных точек () от прямой линии .

Получим формулы:

; ; (1.21)

; ;

,

где скобки означают среднее арифметическое величины х по всем n экспериментальным точкам (см. формулу 1.1). В формулах S(B) и S(A) - это выборочные оценки среднеквадратичных отклонений величин В и А. Отсюда полуширина доверительного интервала для вероятности Р выражается с помощью коэффициента Стьюдента:

,

где число степеней свободы (n - число экспериментальных точек).

Если значения большие, то вычисления по формулам (1.21) требуют высокой точности. Для уменьшения ошибок вычислений можно начало координат по оси Х перенести в точку .