Алгебраические свойства А-отображений и их геометрическое истолкование.

Зададимся теперь вопросом, когда А-отображения коммутируют (т.е. безразличен порядок, в котором их применять к окружности О). Пусть В(Х) и С(Х) два А-отображения и они коммутируют, то есть С(В(Х))=В(С(Х)) для всех Х. В том числе это равенство должно выполняться и для тех Х, при которых В(Х)=Х, т.е. на неподвижных точках отображения В. Подставим С(В(Х))=С(Х) т.к. В(Х)=Х. С(В(Х))=В(С(Х))=С(Х) т.е. из коммутируемости В(Х) и С(Х) следует, что, что если Х – неподвижная точка отображения В, то С(Х) – также неподвижная точка отображения В, иначе говоря, С как-то переставляет неподвижные точки отображения В. аналогично, В как-то отображается неподвижные точки отображения С в себя.

Мы знаем, что у всякого А-отображения 2, 1 или ни одной неподвижной точки в зависимости от того, лежит центр А-отображения вне, на или внутри окружности О. Разберем случай, когда неподвижных точек 2. Пусть это точки Р и Q. В(Р)=Р, В(Q)=Q. С отображает эту пару точек в себя. Возможны два случая:

1. С(Р)=Q, C(Q)=P

2. C(P)=P, C(Q)=Q (C как и В, оставляет точки P и Q неподвижными.

Что означают эти случаи геометрически? Первый случай означает, что С – лежит на прямой, проходящей через Р и Q.

Рисунок 7.

(Точка В, две касательные прямые к окружности О, проходящие через В, точки их касания с О – Р и Q, точка С, лежащая на прямой (Р, Q))

Второй случай означает, что С лежит на прямой, касающейся О в точке Р и на прямой, касающейся О в точке Q, т.е. в точке пересечения этих прямых. Но это – точка В. Если точка С совпадает с точкой В, разумеется, эти отображения коммутируют. Они просто совпадают друг с другом, а всякое отображение коммутирует само с собой. Но это случай мы не будем рассматривать.

Итак, нам интересен только случай 1., когда С – меняет местами неподвижные точки отображения В (точки Р и Q). Мы покажем, что условие «С лежит на прямой, проходящей через точки Р и Q – не только необходимо, но и достаточно. Точнее – я сошлюсь на давно известные геометрические факты, из которых это следует.

Рисунок 8.

(Окружность О, точки В и С вне нее, Р и Q – точки касания двух прямых, проходящих через В с О, С лежит на (P, Q). Точка Х на О, прямые (В, Х) и (С, Х), точки пересечения этих прямых с О – В(Х) и С(Х), прямые (С, В(Х)) и (В, С(Х)), точка пересечения этих прямых с О.)

На рисунке по данным точкам Х, С, В, построены точки В(Х), С(Х), С(В(Х)), В(С(Х)). Коммутируемость отображений С и В означает, что точки С(В(Х)) и В(С(Х)) совпадают, т.е. прямые (С, В(Х)) и (В, С(Х)) – пересекаются в одной точке (при том условии, что С лежит на прямой (Р, Q)). Можно сформулировать и иначе: при данном условии (что С лежит на (Р, Q)) если пара точек окружности О лежит на одной прямой с В, то прямые, проведенные через С и эту пару точек – пересекают О в точках, также лежащих на одной прямой с В.

Есть геометрическая теорема доказывающая этот факт. Мы не будем здесь приводить это доказательство. Но некоторые определения, связанные с теоремой нам понадобятся. Теорема обычно доказывается в рамках теории «поляр и полюсов». Дадим ключевое определение этой теории:

Пусть дана точка В вне (или на) окружности О и проведены касательные прямые к окружности О через эту точку. Прямая L, проходящая через точки касания этих прямых с О – называется полярой точки В. А точка В называется полюсом прямой L. В терминах А-отображений это звучит так: «полярой точки В называется совокупность таких точек, что А-отображения с центрами в этих точках – меняют местами неподвижные точки отображения В».

Первое свойство поляр – взаимность. Если какая-то точка Х лежит на поляре точки В, то и В лежит на поляре Х. Второе свойство – двойственность: если три точки лежат на одной прямой, то их поляры пересекаются в одной точке. Предлагаю читателю самостоятельно сформулировать это свойство в терминах А-отображений.

Из приведенной выше геометрической теоремы следует, что если точка С лежит на поляре В, то А-отображения с центрами в этих точках – коммутируют. И, обратно – если А-отображения коммутируют, то они лежат на поляре друг друга. Обратим внимание на связь свойства взаимности поляр с коммутируемостью. Если В коммутирует с С, то и С коммутирует с В – именно этот очевидный факт и выражает свойство взаимности.

Мы рассматривали случай, когда В лежит вне окружности О. Если В лежит на О, то полярой В называют касательную прямую к О в точке В. А если В лежит внутри О? В этом случае полярой В называют совокупность точек, которые являются полюсами прямых, проходящими через В. По свойству двойственности – эти точки лежат на какой-то одной прямой. Эта прямая и будет полярой точки В. Заметим, что в данном случае поляра не имеет общих точек с О. Ведь полюс прямых, пересекающих О – вне О. В терминах А-отображений можно сказать, что полярой точки В называют совокупность точек С, таких, что А-Отображения с центрами в точках В и С коммутируют между собой. Заметим, что приведенное определение охватывает случаи, когда В вне или внутри О. Более того, если В лежит на О, мы также можем связать с ней отображение: В(Х)=В какой бы ни была Х.

Рисунок 9.

(Окружность О, точки В, Х, Y, Z на ней и направленные отрезки [X, B], [Y, B], [Z, B])

В(Х)=В(Y)=B(Z)=В. Это отображение, конечно, не будет взаимнооднозначным, тем более – инволютивным. Образ всех точек одинаков – точка В. Но вопрос про коммутативность имеет смысл. Пусть А-отображение с центром в С коммутирует с описанным только что отображением В(Х)=В С(В(Х))=В(С(Х)) левая часть равна С(В) правая – В. Значит С(В)=В, а это равносильно тому, что С лежит на поляре В (прямой касающейся О в В). Заметим, что рисунок 9 прямо-таки подводит к мысли о связи этой темы с исчислением бесконечно малых (окружность отображается в бесконечно-малую окрестность точки В). Теперь мы можем сформулировать аксиомы о прямых и точках в терминах А-отображений. Это будет несколько хитроумно. Пусть Е и D – две точки плоскости. Они задают А-отображения с центрами в этих точках. Есть одно и только одно отображение, коммутирующее с ними обоими. Обозначим его В. Совокупность всех А-отображений, коммутирующих с В мы и назовем «прямой, проходящей через Е и D» Это определение вызывает вопросы.

Почему есть одна и только одно А отображение, коммутирующей с E и D?

Все центры А-отображений, коммутирующих с Е лежат на поляре к Е, а все центры А-отображений, коммутирующих с D на поляре к D. Если эти две прямые пересекаются, то точка их пересечения и будет центром искомого отображения. Если эти две прямые параллельны (а это возможно только если Е и D лежат на одной прямой с центром окружности О, то искомым отображением будет осесимметрия относительно (Е, D)

Рисунок 10.

(Окружность О, ее центр Н, точки Е и D на одной прямой с Н, прямые проходящие через Е и касающиеся О в точках Р и Q, прямые, проходящие через D и касающиеся О в точках Р1 и Q1, прямые (Р1, Q1) и (Р, Q) параллельны друг другу и перпендикулярны прямой (Е, D))

Предоставляю читателю самостоятельно доказать, что в этом случае (если поляры Е и D параллельны – Е и D лежат на одной прямой с центром окружности О и симметрия относительно (Е, D) коммутриует с А-отображениями с центрами в Е и D.

Итак, мы доказали, что отображение В, коммутирующее с Е и D – только одно. Поэтому пара А-отображений с центрами в Е и D в самом деле однозначно задают совокупность А-отображений, таких, что они коммутируют с коммутирующим с Е(X) и В(Х) отображением. Теперь надо доказать, что определенные таким образом «прямые» – всегда пересекаются в одной точке, т.е. что есть одно и только одно А-отображение, лежащее в обоих множествах точек. Но, по сути, мы это уже сделали. Допустим А-отображения первой прямой все коммутируют с В1 (иначе говоря В1 является полюсом этой прямой), а второй прямой – с В2 (В2 является полюсом этой прямой). Есть одно только одно А-отображение, коммутирующее с В1 и В2 одновременно, оно и будет искомым пересечением двух определенных таким образом прямых. Заметим, что в некоторых случаях точки пересечения могут лежать на окружности О. Точка лежащая на О, как было показано, также задает отображение, которое мы и рассматриваем в данном случае.

Повторим: А-отображения называются лежащими на одной прямой, если существует какое-то А-отображение, коммутирующее с каждым из них. Замечательно, что центры этих А-отображений изображаются точками, лежащими на одной прямой! См. Рисунок 8.

Итак, мы показали, что А-отображения моделируют проективную плоскость.

Теорема Паскаля и А-отображения, уравнение (S*T*F)²=e.

Теперь мы установим связи между А-отображениями и теоремой Паскаля. Для этого вспомним, что А-отображения это – действия инверсий на ортогональную им окружность О. А отображения, лежащие на определенной нами прямой по определению – коммутируют с неким А-отображением. Обозначим Его В. Значит и инверсии, сужением которых и являются А-отображения) коммутируют с В. кроме того, эти инверсии коммутируют с О. Но тогда они лежат в одном пучке (двойственном к пучку, в котором лежат А и О см. ст. 2). А все инверсии из одного пучка имеют свойство: композиция любых трех из них – инволютивна, снова инверсия относительно окружности (действительной или мнимой) из этого пучка. То есть для любых трех инверсий S, T, F из одного пучка S(T(F(S(T(F(X))))))=Х или, выражаясь иначе (S*T*F)²=e. Теперь проиллюстрируем теорему Паскаля.

Рисунок 11.

(окружность О, 6 точек на ней, по часовой стрелке: Е, D, F, H, G, P. Пересечения диагоналей этого шестиугольника именно (H, P) и (E, F) – точка С, (E, G) и (D, H) – точка А, (P, G) и (F, D) – точка В. Построенные точки А, В, С – сами лежат на одной прямой).

Теорема Паскаля утверждает, что если шесть точек Е, D, F, H, G, P – лежат на одной окружности, то точки пересечения диагоналей, указанных на рисунке – лежат на одной прямой. Рассмотрим А-отображения с центрами в точках пересечения этих диагоналей: С, А, В. Заметим, что А(Р)=G, A(D)=F, B(E)=G, B(D)=H, C(P)=H, C(E)=F. Начнем построение с точки Р. Выразим оставшиеся 5 точек с помощью композиций А-отображений. G=A(P), E=B(A(P)), F=C(E)=(C(B(A(P))), D=A(F)=A(C(B(A(P)))), H=B(D)=B(A(C(B(A(P))))), и P=C(H)=C(B(A(C(B(A(P)))))). Обозначим отображение C*B*A буквой К. Мы только что показали, что К(К(Р))=Р или, что К инволютивна на точке Р, т.е. С*В*А инволютивно на точке Р. Рассказанного в предыдущих статьях недостаточно, чтобы заключить отсюда, что К= C*B*A инволютивна на всех точках. (а этого было бы достаточно для доказательства теоремы Паскаля). Но мы можем сформулировать родственное ей утверждение:

Из того, что А, В, С – лежат на одной прямой, следует, что построение замкнется или, что точки С, Р, Н – лежат на одной прямой. Это следует из того, что если А, В, С лежат на одной прямой, то С*В*А – инволютивно и образы точки Р связаны описанными выше соотношениями.

Заметим, что свойство (А*В*С)²=е можно было бы взять за определение «прямой» то есть определить так: три точки А, В, С лежат на одной прямой только если композиция А-отображений с центрами в них – снова есть какое-то А-отображение. Но тогда бы мы столкнулись с одной трудностью: точки лежащие на О не подпадали бы под это определение. Если одна из этих точек лежит на О, то она отобразит все точки О в себя и, разумеется, композиция с участием такой точки не будет инволютивна. Чтобы обойти эту трудность, вероятно надо развить идею, что точка на О – это не точка, а бесконечно малая окрестность. Но это отдельная тема.