Детерминированная задача оптимизации

Рассматривая статистическую задачу оптимизации, мы считали входной сигнал случайным процессом и минимизировали средний квадрат ошибки воспроизведения образцового сигнала. Однако возможен и иной подход, не использующий статистические методы.

Пусть, как и раньше, обработке подвергается последовательность, состоящая из К отсчетов x(k), коэффициенты нерекурсивного фильтра образуют вектор-столбец w, a отсчеты образцового сигнала равны d(k). Выходной сигнал фильтра определяется формулой (5.1), а ошибка воспроизведения образ­цового сигнала – формулой (5.2).

Теперь оп­тимизационная задача формулируется так: необходимо найти такие коэффициенты фильт­ра w, чтобы норма ошибки воспроизведения образцового сигнала была минимальной:

. (5.10)

Для решения задачи в выражениях (5.1) и (5.2) перейдем к матричной запи­си, получая формулы для векторов-столбцов выходного сигнала у и для ошибки воспроизведения входного сигнала е:

y = U^Tw, e=d - U^Tw. (5.11)

Здесь d – вектор-столбец отсчетов образ­цового сигнала, a U – матрица, столбцы которой представляют собой содержимое ли­нии задержки фильтра на разных тактах

U=[u(0), u(1), …, u(K-1)].

Выражение (5.10) для нормы ошибки можно переписать в матричном виде следующим об­разом:

J(w)=e . (5.12)

Подставляя (5.11) в (5.12), получаем

J(w) = (d - U^Tw)^T (d - U^T w) = d^Td - w^TUd - .

Для нахождения минимума необходимо вычислить градиент данного функционала и приравнять его нулю:

grad J(w) = -2Ud + 2UU^T w = 0.

Отсюда легко получается искомое опти­мальное решение:

w = (UU . (5.13)

В формуле (5.13) прослеживается близкое родство с формулой (5.5), описывающей опти­мальный в статистическом смысле фильтр Винера. Действительно, если учесть, что (UU дает оценку корреляционной матрицы сигнала, полученную по одной реа­лизации сигнала путем временного усредне­ния, a Ud / К является аналогичной оценкой взаимных корреляций между образцовым сиг­налом и содержимым линии задержки фильтра, то формулы (5.5) и (5.13) совпадут.