Когерентность

При объяснении явления интерференции важным понятием является понятие когерентности света. Исторически оно возникло в связи с интерференционными опытами. Появление интерференционной картины в опыте Юнга (и в других опытах) зависит от того, какой свет падает на экран с двумя точечными отверстиями.

Если это свет точечного источника, каковым является маленькое отверстие в экране S или узкая щель, то интерференция есть. Если же это свет от протяженного источника или свет, рассеянный матовой пластинкой, то интерференции нет. Способность света давать интерференционную картину называют когерентностью. Когерентность связана со структуройсвета: когерентный свет — это свет, структура которого близка к плоской или сферической гармонической волне. Про такой свет говорят, что он имеет высоко упорядоченную структуру. Понятию когерентности соответствует понятия: «согласование», «корреляция». В противоположность этому некогерентный свет — это свет, не способный давать интерференциюи подчиняющийся закону сложения интенсивностей. Такой свет представляет собой случайно модулированную волну, т.е. волну, у которой амплитуда и фаза описываются случайными функциями.

Монохроматические волны считаются когерентными, если они имеют одинаковые частоты, а разность фаз между ними остается неизменной с течением времени. Такие волны интерферируют. Подчеркнем, что интерференция имеет место для волн одинаковой поляризации.

3.1. Временная когерентность. Длина когерентности

Различают временную и пространственную когерентность или, в других терминах, различают длину и ширину когерентности. Понятие временной когерентности (или длины когерентности) связано со степенью монохроматичности света, поскольку идеального монохроматического света не существует. В опыте Юнга интерференционная картина по мере удаления от её середины размывается, видны несколько полос, но далее постепенно они исчезают. Очевидно, это связано с тем, что степень когерентности складываемых в этих точках экрана волн постепенно уменьшается, по мере увеличения разности хода между ними.

Например, мы наблюдаем четыре порядка интерференции (4 полосы - ), а затем полосы исчезают. Исчезновение полос с > 4 означает, что, пока разность хода между волнами , волны когерентны (этот вывод следует из условия минимумов и максимумов). Это значит, что вдоль распространения волны когерентными между собой будут только участки волны в этом интервале . Данный интервал и называется длиной когерентности . В рассматриваемом случае . Заметим, что в данных условиях это простейший способ оценки длины когерентности:

, (3.1)

где - максимальный порядок интерференции, соответствующий ещё видимой светлой полосе. Всё это можно схематически представить с помощью рис. 3.1.

Свет, падающий на обе щели, имеет какую - то длину когерентности . Обе щели создают две волны с такой же длиной когерентности, но, поскольку они достигают разных точек экрана с различными разностями хода, то участки когерентности обеих волн постепенно сдвигаются относительно друг друга и, начиная с , перестают перекрывать друг друга.

Рис. 3.1

Складываемые волны перестают быть когерентными, и интерференционные полосы исчезают. Всё сказанное справедливо при условии, что «первичная» щель достаточно узка. При расширении щели вступает в действие другой эффект, связанный с пространственной когерентностью (шириной интерференции).

Найдём выражение, определяющее . Известно, что строго монохроматический свет – это идеализация. Реальный свет остаётся в той или иной степени немонохроматическим, представляющим собой набор монохроматических компонент в некотором конечном интервале длин волн (). Будем считать, что монохроматические компоненты равномерно заполняют этот интервал.

Как показывает формула (2.1) ширина интерференционной полосы пропорциональна (без более тонких деталей). Изобразим положение максимумов для длин, соответствующих крайним значениям спектрального интервала (), сплошными отрезками – для , пунктирными для - . Максимумы же промежуточных длин волн заполняют интервал между крайними максимумами каждого порядка интерференции. В результате промежуточные максимумы, как видно из рисунка, будут постепенно размываться, и полосы постепенно исчезнут.

С помощью рисунка рис. 3.2 можно заключить, что полосы исчезнут при таком максимальном значении , где -ый максимум самой длинной волны совпадёт с () - максимумом более короткой волны:

,

здесь - предельный порядок интерференции, начиная с которого полосы исчезают. Отсюда максимальный порядок интерференции:

. (3.2)

Величина характеризует степень монохроматичности света: чем она больше, тем больше и степень монохроматичности, тем больше чётких максимумов наблюдается на интерференционной картине.

Рис. 3.2

Таким образом, мы нашли то значение , при котором интерференция исчезает, т.е. складываемые колебания становятся уже не когерентными. Заметим, что установить точное значении затруднительно из-за того, что полосы размываются и исчезают постепенно.

Найденное значение (3.2) связано с длиной когерентности (3.1) как . Отсюда следует, что

. (3.3)

Мы видим, что длина когерентности световой волны непосредственно связана со степенью монохроматичности (): чем больше последняя, тем больше и длина когерентности, тем больше наблюдается максимумов на интерференционной картине. Для солнечного света , для лучших (не лазерных) источников удалось получить порядка несколько десятков сантиметров. Лазеры позволили получить излучение с порядка сотен метров (и даже нескольких километров)!

Отсюда следует, что для получения интерференционной картины необходимо, чтобы оптическая разность хода складываемых волн была меньше длины когерентности: .

В заключение заметим, что длина когерентности связана с так называемым временем когерентности - промежутком времени, в течение которого случайные изменения фазы световой волны достигают значения порядка .

На примере интерференции от двух щелей понятие временной когерентности можно интерпретировать следующим образом. Каждая частотная компонента, присутствующая в спектре света, создает в пространстве свою интерференционную картину — периодические полосы. Результирующую картину интенсивности в плоскости наблюдения можно рассматривать как результат сложения этих распределений. Распределения, созданные различными частотными компонентами, будут иметь различную пространственную периодичность. Поэтому с увеличением времени задержкимежду двумя пучками интерференционная картина будет становиться все менее и менее различимой, так как минимумы одного распределения будут налагаться на максимумы другого. В результате картина окажется однородной, так как в ней не будет выраженных максимумов и минимумов интенсивности, т.е. интерферограмма не формируется. Это происходит, когда время задержки становится больше времени когерентности (), и интерференционные полосы исчезают.

3.2. Пространственная когерентность. Ширина когерентности

Понятие «точечный источник» — это такая же идеализация, как и монохроматическая волна. Все реальные источники являются протяженными, а это приводит к уменьшению контраста интерференционной картины. Опыт показывает, что при увеличении размеров источника видимость интерференционной картины постепенно уменьшается и при достаточно больших размерах интерференционные полосы полностью исчезают. Качественно характер изменения видимости полос при увеличении размеров источника можно понять, если предположить, что протяженный источник состоит из независимых излучателей (Рис. 3.3).

Рис.3.3. Интерференция от протяженного источника.

Действительно, весь источник света можно «разбить» на малые площадки с линейным размером много меньше длины волны, состоящие из атомов, излучающих независимо от атомов другой площадки , поэтому волны, излучаемые этими площадками, являются некогерентными и интерференции между ними не будет.

Этот же случай можно рассмотреть на примере с двойной щелью. До сих пор щель в опыте Юнга, по умолчанию, предполагалась весьма узкой (часто говорят бесконечно узкой). Расширение же щели, как и уменьшение степени монохроматичности света, приводит к ухудшению (размытию) интерференционных полос и даже к полному их исчезновению. Чтобы выяснить роль ширины щели , рассмотрим теперь на примере опыта Юнга другой крайний случай: излучение монохроматическое, щель не узкая.

Интерференционную картину на экране (рис. 3.4 и рис. 3.5) можно представить как наложение интерференционных картин от бесконечно узких щелей, на которые мысленно разобьём щель .

Рис. 3.4 Рис. 3.5

Пусть положение максимумов на экране от узкой щели, взятой около верхнего края щели – точки 1— таково, как отмечено сплошными отрезками на рис. 3.4. А максимумы от узкой щели, взятой около нижнего края щели — точки 2, будут смещены вверх, они отмечены пунктирными отрезками на этом же рисунке. Интервалы между этими максимумами заполнены максимумами от промежуточных узких щелей, расположенных между краями 1и 2.

При расширении щели расстояния между максимумами от её крайних элементов будут увеличиваться, т. е. интервалы между соседними максимумами от одного края щели будут постепенно заполняться максимумами от остальных элементов щели.

Для простоты будем считать, что в схеме (рис. 3.5) расстояния . Тогда при ширине щели , равной ширине интерференционной полосы (), интервал между соседними максимумами от края 1будет целиком заполнен максимумами от остальных элементов щели, и интерференционные полосы исчезнут.

Итак, при расширении щели интерференционная картина постепенно размывается и при некоторой ширине щели практически исчезает.

Это наблюдаемое явление можно объяснить и иначе, а именно: интерференционная картина исчезает вследствие того, что вторичные источники – щели и становятся некогерентными. Сказанное позволяет говорить о ширине когерентности падающей на щели S₁ и S₂ световой волны – ширине , на которой отдельные участки волны в достаточной степени когерентны и дают интерференционную картину. Во избежание недоразумений уточним: под шириной когерентности понимается характерное для данной установки расстояние между точками поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны.

Найдём формулу для вычисления . В рассматриваемой схеме опыта Юнга очевидно, что минимальная ширина когерентности падающей волны не может быть меньше расстояния между щелями , т.е. условие, при котором щели и становятся когерентным, есть следующие:

, (3.4)

где - расстояние между щелями. Кроме того, мы выяснили, что интерференционная картина исчезнет когда, когда ширина первичной щели равна ширине интерференционного максимума (т.е. условие, при котором щели становятся не когерентными):

. (3.5)

Ширина интерференционного максимума, согласно формуле (2.7), равна . Из этих трёх равенств получим:

, (3.6)

где - угловая ширина щели относительно диафрагмы с двумя щелями. Итак, ширина когерентности

. (3.7)

Таким образом, ширина когерентности пропорциональна длине волны и обратно пропорциональна угловой ширине источника относительно интересующего нас места (в опыте Юнга – относительно места расположения двух щелей). Сказанное поясняет рис. 3.6.

Рис. 3.6

Если в качестве источника использовать непосредственно Солнце (его угловой размер рад и мкм.), то ширина когерентности, согласно (3.6), мм. Для получения интерференционной картины от двух щелей с помощью такого излучения расстояние между двумя щелями должно быть меньше 0, 05 мм, что сделать практически невозможно.

Из сказанного в предыдущем разделе следует, что временная когерентность связана с разбросом значений , и, следовательно, с разбросом значений модуля волнового вектора , где единичный вектор, совпадающий с направлением распространения световой волны. Пространственная когерентность связана с разбросом направлений вектора , который характеризуется величиной .

Формула (3.4) по существу лежит в основе метода, предложенного Физо и осуществленного Майкельсоном, по определению угловых размеров звёзд путем измерения ширины когерентности. Попытки провести эти измерения, помещая экран с двумя щелями перед объективом телескопа, оказались безуспешными: полосы интерференции оставались четкими даже при наибольшем расстоянии между этими щелями. Майкельсон преодолел эту трудность с помощью звездного интерферометра (рис. 3.7). Расположенные против щелей зеркала – — неподвижны, а зеркала — можно одновременно раздвигать, меняя расстояние между ними. Видимость полос зависит от степени когерентности световых колебаний на зеркалах — , в то время как ширина полос определяется расстоянием между щелями. Постепенно раздвигая зеркала — , обнаруживают, что при определенном расстояниимежду ними интерференционная картина исчезает. Это значит, что расстояние между этими зеркалами оказалось таким, что . Остается по формуле (3.4.) вычислить . При максимальном расстоянии м. можно было измерить угловой диаметр объекта угл. сек.

Рис. 3.7

Первой звездой, угловой диаметр которой удалось определить, была Бетельгейза (0, 047 угл. сек.). Измерив, кроме того, расстояние до неё (по параллаксу), определили диаметр этой звезды-гиганта (он оказался больше диаметра земной орбиты!).

Объём когерентности. Всё пространство, занимаемое волной, можно разбить на части, в каждой из которых волна приблизительно сохраняет когерентность. Объём такой части пространства, называемой объёмом когерентности, по порядку величины равен произведению длины когерентности на площадь круга, радиуса равного ширине когерентности

. (3.5)

Общие выводы. Для получения устойчивой интерференционной картины с использованием обычных (не лазерных) источников света необходимо исходную световую волну расщепить подходящим способом на две части, которые затем в области перекрытия и дадут систему полос, но лишь в том случае, если у исходной световой волны:

1) длина когерентности превышает оптическую разность хода складываемых колебаний и

2) ширина когерентности превышает расстояние между щелями.

Насколько больше должны быть эти величины общепринятого соглашения нет. Будем считать, например, вдвое. Тогда можно записать:

(3.6)

. (3.7)

Выполнение этих условий гарантирует получение интерференционной картины с достаточно хорошей видимостью полос.