Закон сохранения энергии

  Пусть некоторое материальное тело взаимодействует с другими неподвижными телами, причем все силы взаимодействия являются потенциальными. Обозначим кинетическую энергию тела в некоторый начальный момент времени К_o, а потенциальную энергию его взаимодействия с другими телами в тот же момент времени − U_o, через К, U обозначим кинетическую и потенциальную энергии в произвольный момент времени. В этом случае изменение кинетической энергии тела

Δ К = К − K_o = А,

согласно доказанной нами теореме, равно работе внешних сил. С другой стороны, по определению потенциальной энергии, работа потенциальных сил равна изменению потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком:

А = − Δ U = − (U − U_o).

Приравнивая эти выражения, получим уравнение

K − K_o = − (U − U_o),

которое перепишем в виде

K + U = K_o + U_o. (1)

  Сумма кинетической и потенциальной энергий тела называется механической энергией.
  Полученное уравнение (1) указывает, что при сформулированных условиях сумма кинетической и потенциальной энергий тела (его механическая энергия) остается постоянной в процессе движения.
Рассмотрим теперь движение двух взаимодействующих тел. Будем считать для упрощения, что два небольших тела движутся навстречу друг другу вдоль одной прямой, соединяющей эти тела (рис. 165).

рис. 165

  Применим теорему о кинетической энергии для каждого тела для их малых смещений Δ r₁, Δ r₂ за малый промежуток времени:

Δ К₁ = F₁₂Δ r₁; Δ К₂ = F₂₁Δ r₂; (1)

  Просуммируем эти уравнения с учетом равенства модулей сил, действующих на каждое тело (F₁₂ = F₂₁ = F):

Δ (K₁ + K₂) = F(Δ r₁ + Δ r₂).

  Теперь обратим внимание, что сумма смещений тел есть изменение расстояния между телами. Так как сила взаимодействия зависит только от расстояния между телами, то выражение

F(Δ r₁ + Δ r₂) = − (U − U_o)

совпадает с выражением для работы силы взаимодействия при условии, что одно из тел покоится, следовательно, оно равно изменению потенциальной энергии взаимодействия, взятой с противоположным знаком:

Δ К = − Δ U, или К + U = const.

  Таким образом, мы видим, что увеличение суммарной кинетической энергии равно уменьшению потенциальной энергии взаимодействия, поэтому суммарная механическая энергия системы из двух тел сохраняется. Этот вывод достаточно легко можно обобщить на произвольную замкнутую систему тел, все силы взаимодействия между которыми потенциальны. Отметим, что системы, в которых отсутствуют диссипативные силы, называются консервативными.
  Итак, механическая энергия замкнутой консервативной системы сохраняется.
  Это чрезвычайно важное утверждение составляет содержание закона сохранения механической энергии. Подчеркнем: для сохранения механической энергии необходимо выполнение двух условий: первое − система должна быть замкнута, то есть не должна взаимодействовать с другими телами; второе − система должна быть консервативна, то есть все силы взаимодействия должны быть потенциальными.
  Рассмотрим теперь систему, в которой присутствуют неконсервативные (диссипативные) силы. Опять для упрощения алгебраических выкладок будем считать, что система состоит из двух описанных ранее тел, на каждое из которых помимо сил взаимодействия действуют диссипативные силы F_д1, F_д2, которые не обязаны быть одинаковыми, являясь абсолютно независимыми (рис. 166).

рис. 166

В этом случае в каждом уравнении системы (2) появится дополнительное слагаемое, описывающее работу диссипативных сил:

  Проводя над этой системой аналогичные преобразования, получим уравнение

Δ (K + U) = A_д, (4)

где А_д = F_д1Δ r₁ + F_д2Δ r₂ − суммарная работа диссипативных сил в системе (заметим, что, как правило, эта работа отрицательна). Эти рассуждения легко обобщаются на систему произвольного числа тел.
  Таким образом, в замкнутой неконсервативной системе изменение механической энергии равно работе диссипативных сил.
  Наконец, можно рассмотреть незамкнутую систему, то есть ситуацию, когда на тела системы действуют внешние силы любой природы. В этом случае в уравнения типа (2) следует включить работу внешних сил. После аналогичных преобразований можно прийти к выводу: в незамкнутой неконсервативной системе изменение полной механической энергии равно сумме работы внешних сил и работы диссипативных сил.
  Второй способ описания таких систем заключается в их расширении: достаточно в нее включить все взаимодействующие тела и рассматривать расширенную систему как замкнутую.
  Мы уже отмечали, что всякая работа есть мера перехода энергии из одной формы в другую. Так, в рассмотренных случаях работа потенциальных сил приводит к изменению кинетической энергии. Эта работа показывает, сколько энергии перешло из кинетической в потенциальную (или обратно). Наличие сил трения приводит к выделению теплоты − работа этих сил показывает, сколько механической энергии перешло во внутреннюю, тепловую. Если в энергию системы включить и ее внутреннюю энергию, то сделанный вывод можно переформулировать в виде закона сохранения энергии: в замкнутой системе полная энергия сохраняется.
  Этот закон является предельно общим − он справедлив для любых физических явлений. В ходе дальнейшего изучения физики мы постоянно будем обобщать этот закон, включая в него иные формы энергии − электрическую, магнитную, атомную, ядерную и т. д. Смело можно утверждать, что закон сохранения энергии является основой современной физики. В любых явлениях мы будем искать и находить формулы для различных форм энергии. Что общего в этих различных формах энергии: энергия может переходить, превращаться из одной формы в другую, поэтому справедливо уважительно расширить название закона − З акон сохранения и превращения энергии.
  Невозможно назвать одного автора этого закона: многие физики внесли свой вклад в его формулировку, обоснование и развитие − от неизвестных авторов, сформулировавших «золотое правило механики», до современных исследователей. С некоторыми из них мы познакомимся в дальнейшем.
  Что касается его проявления в механических явлениях, то полученные нами уравнения следуют из уравнений законов Ньютона и свойств конкретных взаимодействий. Но закон сохранения энергии имеет более широкие и общие рамки, да и его обоснование имеет более прочный фундамент, так как этот закон тесно связан с однородностью времени. Если вы уверены, что результаты физического эксперимента, проведенного сегодня, приведут завтра (при сохранении всех условий) к тем же результатам, вы должны быть уверены в законе сохранения энергии.