Модель Леонтьева

представлена МОБ = ССБ (системой соотношений баланса) – системой линейных уравнений.

Единицы измерения и могут быть:	Соответствующие МОБ:
натуральными	натуральный
стоимостными	стоимостный

Величины, входящие в модель (, и ) неотрицательны!

Обозначения:

- коэффициенты прямых затрат,

ССБ является работоспособной (или продуктивной, прибыльной) если она разрешима в неотрицательных .

Стоимостный баланс для цен продуктов :

, j = 1, 2, …, n, где - добавленная стоимость на единицу выпуска j - ой отрасли.

С помощью модели (ССБ) решают задачи:

Прямая	Обратная
Дано: расходные коэффициенты (коэффициентам прямых затрат) и валовые выпуски отраслей	Дано: расходные коэффициенты (коэффициентам прямых затрат) и конечный спрос
Найти: конечный спрос	Найти: валовые выпуски отраслей

Условия применимости модели

1. Каждая отрасль является чистой, т.е. выпускает продукт только одного типа

(и разные отрасли выпускают разные продукты).

2. В процессе производства отрасли нуждаются в продукции других отраслей.

3. Величина a_ij – объем продукции отрасли с номером i, израсходованной отраслью j в процессе производства единицы продукции.

4. Число x_j, равно общему объему продукции (ВВ) j -й отрасли за некоторый промежуток времени (например, плановый год).

5. Значение y_j, показывает объем продукции j -й отрасли, который был потреблен в непроизводственной сфере (объем КП)

6. Числа x_ij – объемы продукции i -й отрасли расходуемые j отраслью в процессе производства.

7. Балансовые уравнения имеют вид:

Σ x_ij = x_i – y_i, i = 1, 2,..., n

8. Единицы измерения всех величин могут быть либо натуральными, либо стоимостными.

9. Числа a_ij, i= 1, 2,..., п называются коэффициентами прямых затрат отрасли j.

10. Материальные издержки пропорциональны объему выпускаемой продукции.

11. Величины a_ij являются постоянными коэффициентами.

12. В матричных обозначениях при заданном векторе Y (векторе конечного спроса) требуется решить систему: X – AX = Y, X ≥ 0.

13. В том случае когда решение системы существует для любого неотрицательного вектора Y, говорят, что модель Леонтьева (как и матрица А) продуктивна.

14. Продуктивность в модели Леонтьева эквивалентна прибыльности: из продуктивности следует прибыльность и наоборот.

15. Решение системы балансовых соотношений определяется формулой Y = (E - А) Х

16. Неразложимость матрицы А вмодели Леонтьева означает, что каждая отрасль использует хотя бы косвенно продукцию всех отраслей.

17. Достаточный признак продуктивности модели Леонтьева: если матрица А неотрицательна и неразложима, а сумма элементов каждой строки не больше 1 и хотя бы для одной строки строго меньше 1, то модель Леонтьева, определяемая матрицей А, продуктивна.

Задача 8

По размеченному графу экономической системы определить:

1. вектор валового выпуска:

2. матрицу прямых затрат (структурную матрицу): ,

3. Сделать вывод о продуктивности модели (вытекает из продуктивности А).

(Определение: если для любого Y ³ 0 существует Х ³ 0, то модель Леонтьева продуктивна).

4. Пусть новый вектор валового выпуска . Определить соответствующий вектор конечного продукта: .

5. Пусть новый вектор конечного продукта . Найти соответствующий вектор валового выпуска (это можно сделать, если А продуктивна): , - матрица полных затрат.

Задача 9.

Убедиться, что модель продуктивна. Найти вектор конечного продукта для нового вектора валового выпуска . Найти вектор валового выпуска для нового вектора конечного продукта .