Случайные величины

Вариант 1

1. Предприятие выпускает 80% изделий первого сорта. Случайным образом отобраны 4 изделия. Какова вероятность того, что среди них: 1) ровно два изделия первого сорта; 2) не более двух изделий первого сорта.

2. Известно, что 3/5 всего числа изготовленных заводом телефонных аппаратов выпускаются первым сортом. Изготовленные аппараты расположены один возле другого случайным образом и приемщик берет первые попавшиеся 600 штук. Найти: 1) наивероятнейшее число телефонных аппаратов первого сорта среди отобранных; 2) вероятность того, что среди отобранных находятся от 200 до 500 аппаратов первого сорта.

3. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

4. Производятся три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0, 4. Рассматривается случайная величина – число появлений события А в трех опытах. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины . Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) М , D ; 4) вероятность Р(0< < 3).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Считая момент прихода пассажира распределенным равномерно, найти вероятность появления пассажира не ранее, чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее, чем за две минуты до отхода следующего поезда.

Вариант 2

1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0, 9. Найти вероятность того, что среди 5 случайно отобранных деталей будут: 1) ровно 3 стандартные; 2) от 2 до 4 стандартных деталей.

2. Рабочие цеха обслуживают 200 станков. Каждый станок в течение 6 ч работы несколько раз останавливается и всего в сумме стоит 0, 5ч, причем остановки их в любой момент времени равновероятны. В данный момент времени найти: 1) наивероятнейшее число неработающих станков; 2) вероятность того, что работают ровно 150 станков; 3) вероятность того, что работают не менее 150 станков.

3. В поисках книги студент решил обойти в городе 4 библиотеки. Составить закон распределения числа посещенных библиотек, предполагая вероятность наличия книги в библиотеке равной 0, 4.

4. Рабочий у конвейера при сборке механизма устанавливает в него определенную деталь. В некоторых случаях деталь приходится подгонять и проверять качество подгонки пробной установкой ее в механизм. Закон распределения числа пробных установок детали x задается таблицей

Определить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) Мx, Dx; 4) вероятность Р(-1 < x < 0).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики и .

7. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей 20 мм.

Вариант 3

1. При установившемся технологическом процессе станок – автомат производит 2/3 числа изделий первого сорта и 1/3 – второго сорта. Установить, что является более вероятным – получить 2 первосортных изделия среди 4 наудачу отобранных или 5 первосортных среди 10 наудачу отобранных.

2. На складе находится партия пряжи. Известно, что партия содержит 40% пряжи второго сорта, остальная пряжа первого сорта. Для контроля качества пряжи наудачу отобрано 300 мотков. Найти: 1) наивероятнейшее число мотков пряжи второго сорта; 2) вероятность того, что среди них ровно 200 мотков пряжи первого сорта; 3) вероятность того, что среди них от 150 до 200 мотков пряжи первого сорта.

3. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0, 1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

4. В лотерее на каждые 100 билетов приходится 15 выигрышных. Количество и размер выигрышей даны в таблице

Найти ряд распределения случайного выигрыша на один лотерейный билет. Определить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(1 < < 3).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. При взвешивании получается ошибка, подчиненная нормальному закону с σ = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей 30 г.

Вариант 4

1. Известно, что в среднем 90% числа производимых цехом изделий не имеют дефектов. Наудачу отобраны 5 изделий. Найти вероятность того, что среди них: 1) ровно 2 изделия с дефектом; 2) не менее 4 изделий без дефекта.

2. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0, 8. Произведено 150 выстрелов. Найти: 1) наивероятнейшее число промахов; 2) вероятность ровно 100 попаданий; 3) вероятность не менее 100 попаданий.

3. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Записать ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

4. Вероятность того, что разрывное усилие взятой наудачу оцинкованной проволоки диаметром 0, 6 мм будет более 450 Н равна 0, 88. Для свивки каната из большого количества мотков отбирается 60 штук данного сорта. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа мотков с разрывным усилием более 450 Н.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей р_ξ (х); 3) Мx, σ x; 4) вероятность Р(-1 < x < 1).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Автомат изготовляет подшипники, которые считаются годными, если отклонение x от проектного размера по модулю не превосходит 0, 77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если x распределено нормально с σ = 0, 4 мм.

Вариант 5

1. В библиотеке имеются книги только по информатике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по информатике и по математике, равны соответственно 0, 7 и 0, 3. Найти вероятность того, что из пяти читателей, каждый из которых берет по одной книге: 1) два человека возьмут книги по информатике, 2) не менее трех человек возьмут книги по математике.

2. По данным технического контроля в среднем два процента изготовляемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Изготовлено 400 часов. Найти: 1) наивероятнейшее число часов, требующих регулировки, 2) вероятность того, что триста часов не потребуют регулировки, 3) вероятность того, что не более 300 часов потребует регулировки.

3. Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле, равна 0, 8. Стрелку выдаются патроны до тех пор пока он не промахнется. Найти ряд распределения числа выданных патронов.

4. В результате систематических испытаний мотков оцинкованной проволоки диаметром 0, 6 мм, предназначенной для изготовления канатов, установлено теоретическое распределение по прочностям

Найти математическое ожидание разрывного усилия проволоки и математическое ожидание разрывного усилия 60 проволок, из которых будет свит канат.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) Мx, Dx; 4) вероятность Р(1 < x < 4).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Станок–автомат изготовляет валики, контролируя их диаметры x. Считая, что x распределено нормально с параметрами а = 10 мм, σ = 0, 1, найти интервал, в котором с вероятностью 0, 9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Вариант 6

1. Вероятность хотя бы одного появления события при четырех независимых опытах равна 0, 59. Какова вероятность появления события: 1) при одном опыте, 2) при двух опытах, если при каждом опыте эта вероятность одинакова.

2. В цехе работают 300 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0, 8. Найти: 1) наивероятнейшее число перегревшихся моторов, 2) вероятность того, что перегреются 150 моторов, 3) вероятность того, что перегреются от 150 до 250 моторов.

3. Имеются n лампочек, каждая из которых с вероятностью р имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток; при включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает, после чего заменяется другой. Найти ряд распределения числа испробованных лампочек.

4. Число α –частиц, достигающих счетчика в некотором опыте, является случайной величиной, распределенной по следующему закону:

P	0, 021	0, 081	0, 156	0, 201	0, 195	0, 151	0, 097	0, 054	0, 026	0, 011	0, 007

Найти математическое ожидание и дисперсию числа частиц, достигающих счетчика. Найти вероятность того, что число частиц, достигших счетчика, будет не меньше 4.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) Мx, Dx; 4) вероятность Р(-1 < x < 1).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики и .

7. Цена деления амперметра равна 0, 1А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0, 02А.

Вариант 7

1. Всхожесть нового сорта ржи составляет 90%. В лаборатории посеяны 7 зерен. Найти вероятность того, что: 1) взойдут 5 зерен, 2) взойдут от 2 до 4 зерен.

2. Вероятность выигрыша на каждый из лотерейных билетов равна 0, 02. Имеются 100 билетов из разных серий. Найти: 1) наивероятнейшее число проигрышных билетов; 2) вероятность того, что выигрыш выпадает на 80 билетов; 3) вероятность того, что выигрыш выпадет на 50…90 билетов.

3. Вероятность того, что изделие, изготовленное на автоматическом станке, окажется не ниже второго сорта, равна 0, 8. Для контроля качества регулировки станка рабочий периодически проверяет одно за другим производимые изделия, но не более 5 штук каждый раз. При обнаружении изделия ниже второго сорта станок останавливается для регулировки, Найти ряд распределения числа проверяемых изделий, производимых рабочими при одной серии испытаний.

4. В лотерее разыгрывается мотоцикл стоимостью 25000 рублей, велосипед стоимостью 5000 рублей и часы ценой 400 рублей. Найти математическое ожидание выигрыша для лица, имеющего один билет, если общее число билетов равно 100.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) Мx, σ; 4) вероятность Р(1 < x < 3).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом движения 7 мин. Считая момент прихода пассажира распределенным равномерно, найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

Вариант 8

1. Среди волокон хлопка определенного сорта в среднем 75% имеют длину, меньшую чем 45мм, и 25% - длину большую (или равную) 45мм. Наудачу отобрано 6 волокон. Найти вероятность того, что: 1) 3 волокна имеют длину меньшую, чем 45мм, 2) от 2 до 4 волокон имеют длину, большую 45мм.

2. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не больше определенного числа литров в сутки), равна 0, 75. Рассматриваются 200 рабочих дней предприятия. Найти: 1) наивероятнейшее число дней, в которые расход воды превышает норму, 2) вероятность того, что за 150 дней расход воды будет нормальным, 3) вероятность того, что за число дней от 50 до 150 расход воды будет нормальным.

3. Среди поступивших в ремонт 10 часов 6 штук нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в общей чистке механизма, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти ряд распределения числа просмотренных часов.

4. Из урны, содержащей 3 белых и 4 черных шара, извлекаются по одному шару без возвращения до первого появления белого шара. Найти математическое ожидание числа вынутых черных шаров.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность .

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более, чем на 20с.

Вариант 9

1. В результате многолетних наблюдений для некоторой местности было выяснено, что вероятность того, что в течение 1 июля выпадет дождь, равна 4/17. Рассматриваются ближайшие 50 лет. Найти: 1) наивероятнейшее число дождливых дней 1 июля, 2) вероятность хотя бы одного дождливого дня 1 июля.

2. Радиотелеграфная станция принимает цифровой текст. В силу помех вероятность ошибочного приема любой цифры не изменяется в течение всего приема и равна 0, 01. Считая приемы отдельных цифр независимыми событиями, найти для текста, содержащего 1100 цифр: 1) наивероятнейшее число верных цифр, 2) вероятность того, что в тексте будет ровно 7 ошибок, 3) вероятность того, что в тексте будет меньше 20 ошибок.

3. При установившемся технологическом процессе 2/3 всей производимой продукции станок – автомат выпускает первым сортом и 1/3 – вторым сортом. Найти закон распределения числа изделий первого сорта среди 5 изделий, отобранных случайным образом.

4. В результате испытаний двух приборов (А и В) установлена вероятность наблюдения помех, оцениваемых по трехбалльной системе

По приведенным данным выбрать лучший прибор, если лучшим является тот, который в среднем имеет меньший уровень помех.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) , σ; 4) вероятность .

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали , которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 32мм и не более 68мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 55мм.

Вариант 10

1. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 10 новых электрических лампочек, каждая из которых в течение года перегорает с вероятностью 0, 1. Найти вероятность того, что в течение года: 1) перегорит ровно 7 лампочек; 2) перегорит не менее 8 лампочек.

2. Вероятность попадания в цель бомбы равна 0, 3. С группы самолетов одиночно сбрасывается 200 бомб. Найти: 1) наивероятнейшее число попаданий в цель; 2) вероятность попадания ровно 70 бомб; 3) вероятность попадания не менее 50 бомб.

3. Десять изделий испытывается при перегрузочных режимах независимо друг от друга. Вероятности для каждого из них пройти испытания равны 4/5. Испытания заканчиваются после первого же изделия, не выдержавшего испытания. Найти ряд распределения числа испытаний.

4. Испытуемый прибор состоит из четырех элементов. Вероятность отказа для элемента с номером i равна р_i = 0, 2 + 0, 1(i – 1). Определить математическое ожидание и дисперсию числа отказавших элементов, если отказы элементов независимы.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность .

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15мм

Вариант 11

1. Рабочий обслуживает 12 однотипных cтанков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени t, равна 1/3. Найти вероятность того, что: 1) за время t 4 станка потребуют к себе внимания рабочего; 2) за время t от 3 до 6 станков потребуют внимания рабочего.

2. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0, 02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти: 1) наивероятнейшее число доброкачественных сверл в коробке; 2) вероятность того, что в коробке окажется 3 бракованных сверла; 3) вероятность того, что в коробке окажется не более 10 бракованных сверл.

3. На пути движения автомашины 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0, 5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных автомашиной до первой остановки.

4. Автоматическая линия при нормальной настройке может выпускать бракованное изделие с вероятностью р. Переналадка линии производится сразу же после первого бракованного изделия. Найти среднее число всех изделий, изготовленных между двумя переналадками линии.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(2 < < 4).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением σ =5мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

Вариант 12

1. В камере хранения ручного багажа 80% всей клади составляют чемоданы, которые вперемежку с другими вещами хранятся на стеллажах. Через окно выдачи были получены все вещи с одного из стеллажей в количестве 20 мест. Найти вероятность того, что среди них: 1) было 3 чемодана; 2) не более 3 чемоданов.

2. При данном технологическом процессе 75% всей произведенной продукции оказывается продукцией высшего сорта. Наудачу отобрана партия из 150 изделий. Найти: 1) наивероятнейшее число изделий высшего сорта, 2) вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий высшего сорта, 3) вероятность того, что в партии окажется от 50 до 120 изделий высшего сорта.

3. Найти ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при 5 бросках мяча, если вероятность попадания при одном броске равна 0, 3.

4. Вероятность приема позывного сигнала одной радиостанции другой радиостанцией равна 0, 2 при каждой посылке. Позывные подаются каждые 5с до тех пор, пока не будет получен ответный сигнал. Общее время прохождения позывного и ответного сигналов равно 16с. Найти среднее число подаваемых позывных сигналов до установления двусторонней связи.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(-1 < < 1).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид

Однако он забыл, чему равна постоянная С. Найти: 1) постоянную С; 2) .

Вариант 13

1. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: 1) выиграть 1 партию из 2 или 2 партии из 4, 2) выиграть не менее 2 партий из 4 или не менее 3 партий из 5.

2. В некоторой местности имеются 3% больных малярией. Производится обследование 500 человек. Найти: 1) наивероятнейшее число лиц, не больных малярией, 2) вероятность того, что среди обследуемых 15 человек больны малярией, 3) вероятность того, что среди обследуемых от 100 до 300 человек больны малярией.

3. Производятся последовательные испытания 5 приборов на надежность; каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Найти ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0, 9.

4. Из сосуда, содержащего 2 белых и 3 черных шара, извлекаются последовательно с возвращением шары до появления белого шара. Найти математическое ожидание и дисперсию числа вынутых шаров.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(-2 < < 0).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение

Найти вероятность того, что за время длительностью t = 100ч: 1) элемент откажет; 2) элемент не откажет.

Вариант 14

1. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок в течение 6 ч работы несколько раз останавливается и всего в сумме стоит 0, 5 ч, причем остановки их в любой момент времени равновероятны. Определить вероятность того, что в данный момент времени: 1) будет работать один станок; 2) будут работать не менее трех станков.

2. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0, 9. Случайным образом отобраны 500 деталей. Найти: 1) наивероятнейшее число стандартных деталей; 2) вероятность того, что среди них 440 стандартных деталей; 3) вероятность того, что среди них не более, чем 300 стандартных деталей.

3. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Найти ряд распределения числа бросков для второго баскетболиста, если вероятность попадания для первого равна 0, 4, а для второго 0, 6.

4. Независимые испытания аппаратуры повторяются до тех пор, пока она не даст отказ. Вероятность отказа от испытания к испытанию не меняется и равна р. Найти математическое ожидание и дисперсию числа безотказных испытаний.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(-3< < 3).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина 40 см и среднее квадратическое отклонение 0, 4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0, 8?

Вариант 15

1. На складе находится партия пряжи. Известно, что партия содержит 40% пряжи второго сорта, остальная пряжа первого сорта. Для контроля качества пряжи берут 25 мотков. Найти: 1) наивероятнейшее число мотков пряжи первого сорта; 2) вероятность того, что среди них не более 2 мотков пряжи второго сорта.

2. При установившемся технологическом процессе станок – автомат производит 2/3 числа изделий первым сортом и 1/3 – вторым сортом. Найти вероятность того, что среди 300 случайно отобранных изделий будет: 1) ровно 220 изделий первого сорта; 2) не менее 200 изделий первого сорта.

3. Опыт производится с помощью группы одинаковых приборов, которые включаются один за другим через 5с. Время срабатывания прибора 16с. Опыт прекращается сразу же после того, как сработает очередной включенный прибор. Найти ряд распределения случайного числа включенных приборов, если вероятность срабатывания прибора для всех одинакова и равна 0, 5.

4. Дискретная случайная величина принимает три возможных значения: = 4 с вероятностью = 0, 5; = 6 с вероятностью = 0, 3; c вероятностью . Зная, что = 8, найти , и дисперсию данной величины.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(0 < < 3).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Электронная лампа работает исправно в течение случайного времени Т, распределенного по показательному закону

.

По истечении времени Т лампа выходит из строя, после чего ее заменяют новой. Найти вероятность того, что за время τ: 1) лампу не придется заменять; 2) лампу придется заменять.

Вариант 16

1. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0, 8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

2. Известно, что в среднем 90% числа производимых цехом изделий не имеют дефектов. Найти вероятность: 1) что среди наудачу отобранных 4 изделий ровно 2 изделия с дефектом; 2) среди наудачу отобранных 300 изделий 260 изделий без дефектов; 3) среди наудачу отобранных 300 изделий не более 250 изделий без дефектов.

3. Имеется n заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна р. Найти ряд распределения числа заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали.

4. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(-1 < < 1).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. При работе некоторого прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Время Т работы прибора от его включения до возникновения неисправности распределено по показательному закону

Найти: 1) МТ; 2) σ; 3) вероятность безотказной работы прибора за время .

Вариант 17

1. Производится 4 независимых опыта, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0, 3. Событие В наступает с вероятностью, равной 1, если событие А произошло не менее двух раз; не может наступить, если событие А не имело места, и наступает с вероятностью 0, 6, если событие А имело место один раз. Определить вероятность появления события В.

2. В библиотеке имеются книги только по физике и математике. Вероятность того, что любой читатель возьмет книгу по физике и математике, равны соответственно 0, 7 и 0, 3. Библиотеку посетили 300 читателей, каждый из которых взял по одной книге. Найти: 1) наивероятнейшее число взятых книг по математике; 2) вероятность того, что было взято 200 книг по физике; 3) вероятность того, что было взято не менее 200 книг по физике.

3. Производятся испытания 5 изделий на надежность, причем вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна 0, 7. Найти ряд распределения случайного числа изделий, выдержавших испытания.

4. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0, 9. В каждой партии содержится пять изделий. Найти математическое ожидание и дисперсию числа партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(0 < < 2).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций .

7. На автомате изготавливаются заклепки. Диаметр их головок, представляющий собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, имеет среднее значение, равное 2 мм, и дисперсию, равную 0, 01. Какие размеры диаметра головок заклепки можно гарантировать с вероятностью 0, 95?

Вариант 18

1. В мастерской работает 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0, 8. Найти вероятность того, что к обеденному перерыву: 1) перегреются 4 мотора; 2) перегреются не более 2 моторов.

2. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0, 001. Произведено 5000 выстрелов. Найти: 1) наивероятнейшее число промахов; 2) вероятность не менее 10 попаданий.

3. Мишень состоит из круга и двух колец - №1 и №2. Попадание в круг дает 10 очков, в кольцо №1 – 5 очков, в кольцо №2 – 1 очко. Вероятности попаданий соответственно равны 0, 5; 0, 3; 0, 2. Найти ряд распределения случайной суммы выбитых очков в результате трех попаданий.

4. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления событий А в каждом испытании. Дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0, 63. Найти вероятность появления события при одном испытании и математическое ожидание и дисперсию числа появлений события при 50 испытаниях.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(1 < < 6).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону

для первого элемента;

для второго элемента;

для третьего элемента.

Найти вероятность того, что в интервале времени (0, 5): 1) откажет только один элемент; 2) откажут все три элемента.

Вариант 19

1. Если известно, что на лотерейный билет выпал выигрыш, то вероятности того, что выигрышем будет велосипед или стиральная машина, равны соответственно 0, 03 и 0, 02. На 10 билетов из разных серий выпали выигрыши. Найти вероятность выигрыша хотя бы одного из этих предметов: 1) на 3 лотерейных билета; 2) на число лотерейных билетов от 3 до 5.

2. Всхожесть ржи составляет 90%. Посеяно 1000 зерен ржи. Найти: 1) наивероятнейшее число взошедших зерен; 2) вероятность того, что взойдут ровно 800 зерен; 3) вероятность того, что взойдут от 500 до 900 зерен.

3. В партии из 10 изделий 7 изделий первого сорта. Наудачу выбираются 3 изделия. Найти ряд распределения числа изделий первого сорта среди выбранных изделий.

4. Из 10 часов поступивших в ремонт 6 часов нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в общей чистке механизма, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание числа просмотренных часов.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(-π /4 < < π /4).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. На станке изготавливается некоторая деталь. Ее длина представляет случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 20 см и дисперсию, равную 0, 2 см². Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19, 7 и 20, 3 см.

Вариант 20

1. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не больше определенного числа литров в сутки), равна 0, 25. Найти вероятность того, что в течение 6 ближайших дней расход воды будет нормальным: 1) в течение 4 дней; 2) в течение не менее 3 дней.

2. Среди волокон хлопка определенного сорта в среднем 75% имеют длину, меньшую чем 45 мм, 25% длину, большую (или равную) 45 мм. Наудачу отобрано 500 волокон. Найти: 1) наивероятнейшее число волокон, имеющих длину больше 45 мм; 2) вероятность того, что 400 волокон имеют длину, меньшую чем 45 мм; 3) вероятность того, что от 200 до 400 волокон имеют длину, меньшую чем 45 мм.

3. В двух урнах находятся шары, отличающиеся лишь по цвету: в первой урне 3 белых и 2 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных. Наудачу из каждой урны извлекаются по 2 шара. Найти ряд распределения числа белых шаров среди извлеченных.

4. При установившемся технологическом процессе 2/3 всей производимой продукции станок – автомат выпускает первым сортом и 1/3 – вторым. Найти математическое ожидание и дисперсию числа изделий первого сорта среди 5 изделий, отобранных случайным образом.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(0 < < 2).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Модуль вектора скорости молекулы газа есть случайная величина, распределенная по закону Максвелла

Найти значение параметра А.

Вариант 21

1. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) для каждого узла равна 0, 9. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время t: 1) откажут 2 узла; 2) не более 2 узлов.

2. Известно, что четверть всех рабочих некоторой отрасли промышленности имеет среднее образование. Для обследования выбрано наудачу 2000 рабочих. Найти: 1) наивероятнейшее число рабочих со средним образованием; 2) вероятность того, что 1500 рабочих имеют среднее образование; 3) вероятность того, что от 1000 до 1500 рабочих имеют среднее образование.

3. Из урны, в которой 3 белых и 7 черных шаров, вынимают три шара. Найти ряд распределения числа вынутых черных шаров.

4. Производятся 4 выстрела с вероятностями попадания в цель , , , . Найти математическое ожидание и дисперсию общего числа попаданий.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(-1 < < 1).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Размер диаметра втулок, изготовляемых цехом, является случайной величиной, распределенной нормально с параметрами: = 2, 5 см и дисперсией σ ² = 0, 0001 см^2.. В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0, 997.

Вариант 22

1. Вероятность попадания в цель бомбы равна 0, 3. Сбрасываются одиночно 6 бомб. Найти вероятность того, что в цель попадут: 1) ровно 3 бомбы; 2) от 2 до 4 бомб.

2. При установившемся технологическом процессе происходит 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Рассматривается 500 веретен. Найти: 1) наивероятнейшее число обрывов нити в час; 2) вероятность того, что произойдет от 200 до 400 обрывов нити в час; 3) вероятность того, что произойдет от 200 до 400 обрывов в час.

3. Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель для первого бомбардировщика равна 0, 7, для второго – 0, 8. Найти ряд распределения числа сброшенных бомб обоими бомбардировщиками, если первый из них имеет три бомбы, а второй – 2 бомбы и первым сбрасывает бомбы первый бомбардировщик.

4. Среди 20 приборов в среднем имеется шесть неточных. Найти математическое ожидание и дисперсию числа точных приборов.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(-2 < < 1).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 1 мм и математическим ожиданием . Найти вероятность того, что у двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 1, 28 мм.

Вариант 23

1. Батарея дала 10 выстрелов по военному объекту, вероятность попадания в который равна 0, 2. Найти: 1) наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; 2) вероятность разрушения объекта, если для его разрушения требуются не менее 4 попаданий.

2. В некоторой местности в среднем на каждые 100 выращиваемых арбузов приходится один весом не менее 10 кг. Найти вероятность того, что в партии арбузов из этой местности, содержащей 4000 штук, будет: 1) ровно 3 арбуза весом не менее 10 кг; 2) не менее 2 таких арбуза.

3. Вероятность нарушения стандартности изделия при некотором технологическом процессе равна 0, 06. В отделе технического контроля из каждой партии берут по одному 5 изделий и проверяют качество каждого из них. Если при этом обнаружится нестандартное изделие, дальнейшие испытания прекращаются и вся партия задерживается. Найти закон распределения числа изделий, подвергаемых проверке.

4. В результате систематической проверки качества валиков, изготовленных на отрегулированном автоматическом станке, было установлено, следующее теоретическое распределение их по диаметру:

Найти математическое ожидание и дисперсию диаметра валиков, изготавливаемых на отрегулированном станке.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(-1 < < 0, 25).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой Ох. Средняя дальность полета снаряда равна . Предполагая, что дальность полета Х распределена по нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ = 80 м, найти, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 120 до 160м.

Вариант 24

1. Для приготовления наборов конфет использовали смесь конфет 4 сортов “а”, “б”, “в”, “г”. В смеси одинаковое количество конфет каждого сорта. Большое количество конфет расфасовывается в коробки по 8 конфет в каждый для подарков на детский праздник. Найти вероятность того, что из 15 подарков: 1) в 5 окажется по одной конфете сорта “а”; 2) не более чем в 3 окажется по одной конфете сорта “а”.

2. Установлено, что в среднем 0, 5% шариков, изготовленных для подшипников, оказываются бракованными. На контроль поступили 10000 шариков. Найти: 1) наивероятнейшее число доброкачественных шариков; 2) вероятность того, что бракованными окажутся 60 шариков; 3) вероятность того, что бракованными окажутся не более 60 шариков.

3. Из 2 орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0, 3, для второго – 0, 7. Найти закон распределения числа израсходованных снарядов обоими орудиями, если каждое из них имеет по 3 снаряда, и стрельбу начинает первое орудие.

4. Монету бросают до первого выпадения герба. Найти математическое ожидание и дисперсию числа бросков монеты.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность .

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Диаметр круга измерен приближенно, причем . Рассматривая диаметр как случайную величину, распределенную равномерно на отрезке [ ], найти вероятность того, что диаметр отклоняется от среднего значения не более чем на пятую часть длины отрезка в ту или другую сторону.

Вариант 25

1. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу изделий: 1) окажется два бракованных изделия; 2) окажется не менее 3 бракованных изделий.

2. В среднем левши составляют 1%. Случайным образом отобраны 200 человек. Найти: 1) наивероятнейшее число лиц, не являющихся левшами; 2) вероятность того, что окажется ровно четыре левши; 3) вероятность того, что окажется не более 4 левшей.

3. Вероятность приема позывного сигнала одной радиостанцией равна 0, 2 при каждой посылке. Позывные подаются каждые 5с до тех пор, пока не будет получен ответный сигнал. Общее время прохождения позывного и ответного сигналов равно 16с. Найти ряд распределения числа подаваемых сигналов до установления двусторонней связи.

4. Две игральные кости бросают 5 раз подряд. Найти математическое ожидание и дисперсию числа бросков, при которых на каждой из 2 костей появляется нечетное число очков.

5. Функция распределения величины ξ имеет вид: .

Найти: 1) значения параметров А и В; 2) плотность вероятностей ; 3) ; 4) вероятность Р(-π /2 < < π /2).

6. Плотность вероятностей величины ξ имеет вид:

Найти: 1) значение параметра А; 2) функцию распределения ; 3) построить графики функций и .

7. Шкала секундомера имеет цену деления 0, 2 с. Какова вероятность сделать по этому секундомеру отсчет времени с ошибкой более 0, 05 с, если отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону и время считается распределенным равномерно.