Формула Пуассона (редких событий)

Теорема. Пусть произведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью p, причем

а) число испытаний достаточно велико (;

б)

Тогда вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит раз, вычисляется по следующей приближенной формуле

Эта формула и называется формулой Пуассона (редких событий).

Пример. По каналу связи передано 1000 сигналов. Вероятность ошибки при передаче каждого из сигналов равна 0, 005. Найти вероятность того, что неверно передано:

а) 7 сигналов;

б) не менее 4-х сигналов.

Решение. а) Воспользуемся формулой Пуассона, т.к. условия ее применимости в данном случае выполнены: число испытаний достаточно велико и Искомое значение найдем по таблице функции Пуассона при и (см. учебник Н.Ш. Кремера, с.556):

б) Требуется найти , где m – число неверно принятых сигналов. Так как то

Искать каждое из слагаемых этой суммы и затем выполнять суммирование – такое решение не представляется рациональным из-за большого числа слагаемых и потому, что таблица функции Пуассона не дает искомых значений с требуемой в данном случае точностью. Воспользуемся переходом к противоположному событию:

Находя вероятности из правой части последнего равенства по таблице функции Пуассона, окончательно получаем

Домашнее задание: 2.20, 2.22б.