Допредельная модель диффузионного процесса

Рассмотрим реальные процессы, которые достаточно хорошо описываются диффузионными случайными процессами.

Представим себе частицу, совершающую скачкообразные движения по оси X. За время D t частица совершает скачок на величину ±d с вероятностью 1/2, при этом скачки выполняются независимо друг от друга. Через x(T) обозначим координату частицы в момент времени T, через D x_k – величину скачка частицы в k -й момент времени. Здесь D x_k =±d с вероятностью 1/2. Очевидно, что

.

Найдём среднее значение и дисперсию положения частицы в момент времени T

,

.

В пределе, при D t ®0, d®0, возможны три варианта.

а) Если d²=o(Dt), то D{x(T)}®0, а так как M{x(T)}=0, то частица не меняет своего положения, оставаясь в начальной точке. Этот случай не представляет интереса.

б) Если D t = o (d²), то D {x(T)}®¥, следовательно, положение частицы в конечный момент времени T имеет бесконечный разброс, что для реальных процессов невозможно, поэтому такой вариант рассматривать не будем.

в) Если d²= O (D t), то есть эти величины одного порядка малости, например d²= B D t, где B > 0 – некоторая постоянная, тогда D {x(T)}= B. Этот вариант рассмотрим более подробно.

Рассмотрим приращения

,

для которых можно записать

,

.

Тогда в силу центральной предельной теоремы можно записать

,

и все приращения по предположению независимы. Следовательно, рассматриваемое случайное блуждание в пределе даёт винеровский процесс.

Остановимся на особенностях траекторий винеровского процесса. Так как при D t ®0, величина скачка d®0,, то реализации винеровского процесса непрерывны.

С другой стороны, отношение

,

то есть производная не существует, поэтому говорят, что реализации винеровского процесса недифференцируемы.

Таким образом, случайное блуждание частица, при достаточно малой величине скачка, можно описать винеровским процессом, то есть диффузионным процессом с коэффициентами переноса, равным нулю, и коэффициентом диффузии, равным некоторой положительной постоянной.

Более общий вариант диффузионного процесса можно получить в пределе, если пролагать, что положительный скачок происходит с вероятностью ½ +a, а отрицательный – с вероятностью ½ –a. Тогда

,

.

Так как , то

.

Полагая, что , получим

.

При этом

.

Нетрудно показать, что при D t ®0 в пределе несимметричное блуждание переходит в диффузионный процесс с коэффициентом переноса – A, и коэффициентом диффузии – B.