Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:

— Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
— Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
— Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;

Начать пользоваться сервисом

Как продвинуть сайт на первые места?

Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.

Ускорение продвижения

Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.

Начать продвижение сайта

Числовые характеристики случайной величины

Основными числовыми характеристиками случайной величины X являются математическое ожидание , дисперсия D (X), среднее квадратическое отклонение .

Математическое ожидание случайной величины – это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям.

Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле:

, так как , то есть .

Для непрерывной случайной величины:

.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, то есть

D (X)= .

Преобразуем это выражение, используя свойства математического ожидания, получим D (X) = , то есть дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата ее математического ожидания. Итак:

D (X) = – для дискретной случайной величины;

D (X) = – для непрерывной случайной величины;

D (X) = – для любой случайной величины.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют арифметическое значение квадратного корня из ее дисперсии, то есть

.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют вариацию (колеблемость) значений случайной величины около ее среднего значения. Так, показывает, на сколько в среднем отклоняются значения случайной величины от ее математического ожидания.

Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины : .

Начальный момент дискретной случайной величины: .

Начальный момент непрерывной случайной величины: .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины : .

Центральный момент дискретной случайной величины: .

Центральный момент непрерывной случайной вел-ны: .

Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка – дисперсию случайной величины.

Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой «скошенности» или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии):

.

Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой «островершинности» или «плосковершинности» распределения (коэффициент эксцесса):

.

Величины А и Е характеризуют степень отличия функции распределения от функции распределения стандартного нормального распределения, для которого коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю: . Левосторонняя асимметрия: , правосторонняя асимметрия: . Если , то кривая плотности распределения имеет более плоскую вершину, чем кривая плотности нормального распределения.

Введем понятие различных операций над случайными величинами.

Пусть имеются две случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения:

причем

Случайной величиной называют такую случайную величину, возможные значения которой равны - й степени значений случайной величины X, а соответствующие вероятности не изменяются. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:

			…		…
pi	p 1	p 2	…	рi	…	pn	,

Суммой (разностью, произведением) случайных величин X и Y называют случайную величину Z, возможные значения которой равны соответственно сумме (разности, произведению) каждого значения случайной величины X с каждым значением случайной величины Y, а соответствующие вероятности перемножаются.

Например, закон распределения случайной величины Z = X + Y имеет вид:

zi			…			…		…
			…			…		…		;

причем

Пример 1. Случайная величина X имеет распределение:

Найти характеристики случайной величины.

Решение. Воспользуемся формулами для дискретной случайной величины.

Дисперсию случайной величины можно рассчитать и по формуле:

D (X) = .

D (X) = 4, 9 – (1, 9)² = 4, 9 – 3, 61 = 1, 29.

Среднее квадратическое отклонение характеризует колеблемость значений случайной величины около математического ожидания. » 1, 14 означает, что каждое значение данной случайной величины отклоняется от математического ожидания (от среднего значения) в среднем на 1, 14.

Пример 2. Случайная величина X задана следующим распределением:

Найти характеристики случайной величины.

Решение. Воспользуемся формулами для непрерывной случайной величины.

= (16 – 1024/45 + 2048/225 – 32/3 + 1024/75–1024/225) = 44/225.

Проще вычислить дисперсию по формуле:

D (X) = .

D (X) = 4/3 – (16/15)² = 44/225.

(каждое значение случайной величины отклоняется от математического ожидания в среднем на 0, 44).

Пример 3. Случайные величины X и Y заданы следующими распределениями:

Составить закон распределения случайной величины Z = X – Y.

На этом примере проверить справедливость свойства дисперсии разности двух независимых случайных величин.

Решение: 1) составим закон распределения случайной величины Z = X – Y.

или:

zi
	0, 04	0, 26	0, 38	0, 12	0, 08	0, 12	.

2) найдем характеристики случайных величин X, Y, Z.

= 0, 1 + 1 + 0, 6 + 1 = 2, 7.

0, 1 + 2 + 1, 8 + 5 = 8, 9.

D (X) = = 8, 9 – (2, 7)² = 1, 61.

то есть

Отсюда .