Координаты вектора в пространстве

Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора , взятые в определённом порядке (рис.1.32). Эти векторы называются базисными.

Пусть в пространстве задан базис . Построим прямые , содержащие базисные векторы соответственно. Без ограничения общности можно считать, что эти прямые пересекаются в одной точке (в противном случае можно было взять любые пересекающиеся в одной точке прямые , параллельные прямым соответственно, поскольку проекции вектора на параллельные прямые равны (см. свойство 1 проекций в разд. 1.2.2)). Тогда любой вектор можно однозначно представить в виде суммы своих проекций: , где — векторы, принадлежащие прямым соответственно (см. п.2 теоремы 1.1). Раскладывая проекции по базисам на соответствующих прямых (см. разд.1.3.1), находим: . Подставляя эти разложения в равенство , получаем

27)

Изоморфи́ зм — это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих чертах его можно описать так: Пусть даны два множества с определённойструктурой (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Биекция между ними называется изоморфизмом, если она сохраняет эту структуру. Если между такими множествами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких множеств со структурой.

Объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными», они называются изоморфными. Классическим примером изоморфных систем могут служить множество всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение в этом случае является изоморфизмом.