Динамика твердого тела

Абсолютно твердое тело как система материальных точек - неизменяемая система бесконечно большого числа элементарных частиц, бесконечно малое расстояние между которыми всегда неизменно.

Масса твердого тела как системы материальных точек - предельное значение суммы масс ее элементарных частиц: .

Дифференциальные ур-ния поступательного движения твердого тела: и т.д. – проекция внешней силы. Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. Для осуществления поступательного движения необходимо, чтобы главный момент всех внешних сил относительно центра масс был равен 0: =0.

Дифф-ные ур-ния вращения твердого тела вокруг неподвижной оси: , где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения z, – момент внешних сил относительно оси вращения (вращающий момент). , где – угловое ускорение, чем больше момент инерции при данном _, тем меньше ускорение, т.е момент инерции при вращательном движении является аналогом массы при поступательном. Зная _, можно найти закон вращения тела , и, наоборот, зная , можно найти момент. Частные случаи: 1) если = 0, то = const – тело вращается равномерно; 2) = const, то = const – вращение равнопеременное. Уравнение аналогичное дифф-ному уравнению прямолинейного движения точки .

Физический маятник – твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести.

Ур-ние вращательного движения: , обозначая , получаем дифф-ное уравнение колебаний маятника: , где k – частота колебаний маятника. Рассматривая малые колебания, можно считать , тогда – дифф-ное уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения: или , где – амплитуда колебаний маятника, – начальная фаза колебаний. Период малых колебаний физического маятника . Для малых колебаний маятника период не зависит от угла начального отклонения, этот результат является приближенным.

Для математического маятника (материальной точки, подвешенной на нерастяжимой нити и движущейся под действием силы тяжести) имеем дифф. уравнения движения:

, где L – длина нити. Если , то математический маятник будет двигаться так же, как и физический (период колебаний совпадает). Величина L назыв-ся приведенной длиной физического маятника. Точка К, отстоящая от оси подвеса на расстоянии ОК=L, назыв-ся центром качаний физич. маятника. Если ось подвеса взять в точке К, то точка О будет центром качаний и наоборот – свойство взаимности. Расстояние ОК всегда > ОС, т.е. центр качаний всегда расположен ниже центра масс.